算法的時間、空間復雜度詳解

一、算法

　　1、算法是對待定問題求解步驟的一種描述

　　2、衡量算法的指標：

　　　　時間復雜度：執行這個算法需要消耗多少時間，即算法計算執行的基本操作次數

　　　　空間復雜度：這個算法需要消耗多少空間，即算法在運行過程中臨時占用存儲空間大小的度量，強調的是輔助空間的大小（對數據進行操作的工作單元和存儲一些計算的輔助單元），而不是指所有數據所占用的空間

　　3、同一個問題可以用不同的算法解決，而一個算法的優劣將影響到算法乃至程序的效率。算法分析的目的在於為特定的問題選擇合適的算法。一個算法的評價主要從時間復雜度和空間復雜度來考慮

　　　　算法在時間的高效性和空間的高效性之間通常是矛盾的，通常我們會假設程序運行在足夠大的內存中，更多地去探究時間復雜度

二、時間復雜度

　　常見的時間復雜度有：常數階O(1)，對數階O(log₂n)，線性階O(n)，線性對數階O(nlog₂n)，平方階O(n²)，立方階O(n³)， k次方階O(n^k)，指數階O(2ⁿ)。隨着問題規模n的不斷增大，上述時間復雜度不斷增大，算法的執行效率越低。

     計算時間復雜度

•   去掉運行時間中的所有加法常數。

•   只保留最高階項。

•   如果最高階項存在且不是1，去掉與這個最高階相乘的常數得到時間復雜度

　　1、常數階

int sum = 0, n = 100;       /*執行一次*/  
sum = (1 + n) * n / 2;      /*執行一次*/  
printf("%d",sum);           /*執行一次*/  

　　2、對數階

int count = 1;        
while (count < n){  
   count = count * 2;  
  /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/  
}  

　　 由於每次count乘以2之后，就距離n更近了一分。 也就是說，有多少個2相乘后大於n，則會退出循環。 由2^x=n 得到x=log2n。 所以這個循環的時間復雜度為O(log2n)。　

　　3、線性階

int i;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/  
}  

　　4、平方階

int i, j;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    for(j = 0; j < n; j++){  
        /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/  
    }  
}  

　　

int i, j;        
for(i = 0; i < n; i++){  
    for(j = i; j < n; j++){   /*注意j = i而不是0*/  
        /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/  
    }  
}  

由於當i=0時，內循環執行了n次，當i = 1時，執行了n-1次，……當i=n-1時，執行了1次。所以總的執行次數為:

　　5、立方階

int i, j;        
for(i = 1; i < n; i++)  
    for(j = 1; j < n; j++)  
        for(j = 1; j < n; j++){  
            /*時間復雜度為O(1)的程序步驟序列*/  
  
        }  

三、空間復雜度

　　1、遞歸情況

int BinarySearch2(const int* ptr,const int x,const int left,const int right)  
{  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,left,mid-1);  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            return BinarySearch2(ptr,x,mid+1,right);  
        }  
        return mid;  
    }  
}  

　　遞歸情況下的空間復雜度：遞歸深度為N*每次遞歸的輔助空間大小，如果每次遞歸的輔助空間為常數，則空間復雜度為O(N)。

　　對於遞歸的二分查找，遞歸深度是log2^n，每次遞歸的輔助空間為常數，所以空間復雜度為O(log2N)（2為底數下標）

　　2、非遞歸情況

int BinarySearch1(const int* ptr,const int x,const int len)  
{  
    int left=0;  
    int right=len-1;  
    int mid=(left+right)/2;  
    while(left<=right)  
    {  
        if(x<ptr[mid])  
        {  
            right=mid-1;  
        }  
        else if(x>ptr[mid])  
        {  
            left=mid+1;  
        }  
        else  
        {  
            return mid;  
        }  
    }  
    return -1;  
}  

　　在這個過程中，輔助空間為常數級別，所以空間復雜度為O(1)