LOJ #6436. 「PKUSC2018」神仙的游戲(字符串+NTT)

題面

LOJ #6436. 「PKUSC2018」神仙的游戲

題解

參考 yyb 的口中的長郡最強選手 租酥雨大佬的博客 ...

一開始以為 通配符匹配 就是類似於 BZOJ 4259: 殘缺的字符串 這樣做 .

把通配符設成 \(0\) 然后 . 別的按 \(\mathrm{ASCII}\) 碼 給值 , 最后把他寫成式子的形式 ...

后來發現太年輕了 qwq

先要做這題 , 那么先發現性質咯 :

存在一個長度為 \(len\) 的 \(border\) 當且僅當對於 \(\forall i∈[1,n−len]\) 有 \(s[i]=s[n−len+i]\)
或者這樣說，把所有位置在模 \(n−len\) 意義下分組，同一組里的 \(01\) 要全部相同。

這個容易理解 :

如圖所示

上下 棕色 分別為前后綴可以匹配上的部分 , 紅色箭頭 表示向后移動 \(n - len\) 個 長度 .

可以把 棕色 抽象成向右平移了 \(n-len\) 個位置 , 相對位置上的數仍然不變 .

有了這個性質 , 我們可以對於答案進行判斷了 .

也就是對於每一對 \(01\) , 假設 \(0\) 所處位置為 \(i\) , \(1\) 位置為 \(j\) . \(x = |i - j|\)

那么對於任意的 \(y | x\) 的 \(y\) 都是不可行的 , 這就意味着 \(border\) 為 \(n - y\) 的時候也不可行 .

$\displaystyle \because x \bmod y = 0 $ 且 \(i \equiv j \pmod x\)

\(\displaystyle \therefore i \equiv j \pmod y\) , 所以無法分到同一組 .

那么我們只要求出所有可能的 \(x\) 然后用 \(O(n \ln n)\) 枚舉倍數判斷一個數 , 就可以了 .

暴力枚舉 \(0,1\) 對可以拿滿暴力分 ....

正解的話只要優化枚舉的復雜度 就行了 .

不難發現原式是 \(x=|i - j|\) 我們可以構造卷積

令 \(\displaystyle A = \sum_{i=0}^{n} [str_{i}=0] x^i,B=\sum_{i=0}^{n}[str_{n-i}=1]x^i , A*B=C\) .

按前面的假設 , 若有 \(0\) 在 \(i\) , \(1\) 在 \(j\) . 那么 \(|i - j|\) 必是不合法的 .

在 \(C\) 中我們發現 \(i-j\) 對應的是 \(n + (i - j)\) , 那么就可以直接做完了 .

用 NTT 優化卷積就行了 . 總時間復雜度 \(O(n \log n)\) .

總結

可以利用 border 與 循環串 能互相轉化的性質做一些字符串題。

代碼

#include <bits/stdc++.h>
#define For(i, l, r) for(register int i = (l), i##end = (int)(r); i <= i##end; ++i)
#define Fordown(i, r, l) for(register int i = (r), i##end = (int)(l); i >= i##end; --i)
#define Set(a, v) memset(a, v, sizeof(a))
using namespace std;

inline bool chkmin(int &a, int b) {return b < a ? a = b, 1 : 0;}
inline bool chkmax(int &a, int b) {return b > a ? a = b, 1 : 0;}

inline int read() {
    int x = 0, fh = 1; char ch = getchar();
    for (; !isdigit(ch); ch = getchar()) if (ch == '-') fh = -1;
    for (; isdigit(ch); ch = getchar()) x = (x << 1) + (x << 3) + (ch ^ 48);
    return x * fh;
}

void File() {
#ifdef zjp_shadow
	freopen ("6436.in", "r", stdin);
	freopen ("6436.out", "w", stdout);
#endif
}

const int N = (5e5 + 1e3) * 4;
typedef long long ll;

const int Mod = 998244353;

ll fpm(ll x, int power) {
	ll res = 1;
	for (; power; power >>= 1, (x *= x) %= Mod)
		if (power & 1) (res *= x) %= Mod;
	return res;
}

const int Len = (1 << 20) + 5;
struct Number_Theoretical_Transform {
	ll pow3[Len], invpow3[Len];
	void Init(int maxn) {
		for (int i = 1; i <= maxn; i <<= 1) {
			pow3[i] = fpm(3, (Mod - 1) / i);
			invpow3[i] = fpm(pow3[i], Mod - 2);
		}
	}

	int n; int rev[Len];
	void NTT(ll P[], int opt) {
		For (i, 0, n - 1)
			if (i < rev[i]) swap(P[i], P[rev[i]]);
		for (int i = 2; i <= n; i <<= 1) {
			int p = i >> 1; ll Wi = opt == 1 ? pow3[i] : invpow3[i];
			for (int j = 0; j < n; j += i) {
				ll x = 1;
				for (int k = 0; k < p; ++ k, (x *= Wi) %= Mod) {
					ll u = P[j + k], v = x * P[j + k + p] % Mod;
					P[j + k] = (u + v) % Mod;
					P[j + k + p] = (u - v + Mod) % Mod;
				}
			}
		}
		if (opt == -1) {
			ll invn = fpm(n, Mod - 2);
			For (i, 0, n - 1) (P[i] *= invn) %= Mod;
		}
	}

	void Mult(ll A[], ll B[], int na, int nb) {
		Init(1 << 20);
		int m = na + nb, cnt = 0;
		for (n = 1; n <= m; n <<= 1) ++ cnt;
		For (i, 0, n - 1)
			rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (cnt - 1));
		NTT(A, 1); NTT(B, 1);
		For (i, 0, n - 1) (A[i] *= B[i]) %= Mod;
		NTT(A, -1);
	}

} T;

int n; char str[N];

ll Zero[N], One[N];

bitset<N> Ban;

int main () {
	File();

	scanf ("%s", str); n = strlen(str);
	For (i, 0, n - 1) if (str[i] == '0') Zero[i] = rand(); else if (str[i] == '1') One[i] = rand();
	reverse(One, One + n);

	T.Mult(Zero, One, n, n); Ban.reset();

	For (i, 0, 2 * n)
		if (Zero[i]) Ban[fabs((n - 1) - i)] = true;

	ll ans = 0;
	For (i, 1, n) {
		bool Pass = true;
		for (int j = i; j <= n; j += i) if (Ban[j]) { Pass = false; break; }
		if (Pass) ans ^= (1ll * (n - i) * (n - i));
	}
	ans ^= (1ll * n * n);

	printf ("%lld\n", ans);

	return 0;
}