二叉樹的存儲結構和遍歷算法

1. 二叉樹的存儲結構

1.1 順序存儲結構

順序存儲一棵二叉樹時，首先對該樹中的每個結點進行編號，然后以各結點的編號為下標，把各結點的值對應存儲到一個一位數組中。每個結點的編號與等深度的滿二叉樹中對應結點的編號相等，即樹根結點的編號為1，接着按照從上到下和從左到右的次序，若一個結點的編號為i，則左、右孩子的編號分別為2i和2i+1。如圖，各結點上方的數字就是該結點的編號。

假設分別采用一維數組data1和data2來順序存儲上圖的兩棵二叉樹，則兩數組中各元素的值如下圖所示。

在二叉樹的順序存儲結構中，各結點之間的關系是通過下標計算出來的，因此訪問每一個結點的雙親和左、右孩子都非常方便。如對於編號為i的結點，其雙親結點的下標為⌊i/2⌋，若存在左孩子，則左孩子結點的下標為2i，若存在右孩子，則右孩子結點的下標為2i+1。

二叉樹的順序存儲結構對於存儲完全二叉樹是合適的，它能夠充分利用存儲空間，但對於一般二叉樹，特別是對於那些單支結點較多的二叉樹來說是很不合適的，因為可能只有少數存儲位置被利用，而多數或絕大多數的存儲位置空間着。

1.2 鏈接存儲結構

 在二叉樹的鏈接存儲中，通常采用的方法是，在每個結點中設置3個域：值域、左指針域和右指針域。其結點結構為：

鏈接存儲的另一種方法是：在上面的結點結構中再增加一個parent指針域，用來指向其雙親結點。這種存儲結構既便於查找孩子結點，也便於查找雙親結點，當然也帶來存儲空間的相應增加。

同單鏈表相同，二叉鏈表既可由獨立分配的結點鏈接而成，也可由數組中的元素結點鏈接而成。

若采用獨立結點，則結點類型可定義為：

struct BTreeNode {
    ElemType data;
    BTreeNode* left;
    BTreeNode* right;       
};

若采用元素結點，則結點類型可定義為：

struct ABTreeNode {
    ElemType data;
    int left, right;
};

元素結點從下標為1的位置起使用，下標為0的位置的左指針域通常用來存儲樹根指針，右指針域通常用來存儲空閑鏈表的表頭指針，空閑鏈表由空閑結點的right域鏈接而成。

2. 二叉樹遍歷

二叉樹遍歷算法有：前序遍歷、中序遍歷、后序遍歷和按層遍歷。

若將跟結點、左子樹和右子樹分別用D、L和R表述，則前序遍歷順序為DLR，中序遍歷順序為LDR，后序遍歷順序為LRD。

對於上圖二叉樹，

前序遍歷為：ABCDEFG

中序遍歷為：CBDAEGF

后序遍歷為：CDBGFEA

按層遍歷為：ABECDFG

2.1 前序遍歷算法

void PreOrder(BTreeNode* BT) {
    if(BT != NULL) {
        cout << BT->data << ' ';     //訪問根結點
        PreOrder(BT->left);          //前序遍歷左子樹
        PreOrder(BT->right);         //前序遍歷右子樹
    }
}

2.2 中序遍歷算法

void InOrder(BTreeNode* BT) {
    if(BT != NULL) {
        InOrder(BT->left);          //中序遍歷左子樹
        cout << BT->data << ' ';    //訪問根結點
        InOrder(BT->right);         //中序遍歷右子樹
    }
}

2.3 后序遍歷算法

void PostOrder(BTreeNode* BT) {
    if(BT != NULL) {
        PostOrder(BT->left);        //后序遍歷左子樹
        PostOrder(BT->right);       //后序遍歷右子樹
        cout << BT->data << ' ';    //訪問根結點
    }
}