1、引出問題
在前面講解 HashMap 的源碼實現時，有如下幾點：
①、初始容量為 1<<4，也就是24 = 16
②、負載因子是0.75，當存入HashMap的元素占比超過整個容量的75%時，進行擴容，而且在不超過int類型的范圍時，進行2次冪的擴展(指長度擴為原來2倍)
擴大一倍
③、新添加一個元素時，計算這個元素在HashMap中的位置，也就是本篇文章的主角 哈希運算。分為三步：
第一步：取 hashCode 值： key.hashCode()
第二步：高位參與運算：h>>>16
第三步：取模運算：(n-1) & hash
1 static final int hash(Object key) { 2 int h; 3 return (key == null) ? 0 : (h = key.hashCode()) ^ (h >>> 16); 4 } 5 6 tab[i = (n - 1) & hash]；
ps：第 6 行代碼是我自己加的。
我們知道一個好的 哈希算法能夠使得元素分布的更加均勻，從而減少哈希沖突。HashMap 在這塊的處理就很巧妙：
首先第一步取得 hashCode，該方法是一個用native修飾的本地方法，返回的是一個 int 類型的值（根據內存地址換算出來的一個值），通常我們都會重寫該方法。
第二步將取得的哈希值無符號右移16位，高位補0。並與前面第一步獲得的hash碼進行按位異或^ 運算。這樣做有什么用呢？這其實也是擾動函數，為了降低哈希碼的沖突。右位移16位，正好是32bit的一半，高半區和低半區做異或，就是為了混合原始哈希碼的高位和低位，以此來加大低位的隨機性。而且混合后的低位摻雜了高位的部分特征，這樣高位的信息也被變相保留下來。也就是保證考慮到高低Bit位都參與到Hash的計算中。
有興趣的可以看看JDK1.7中，其實是做了4次擾動，在JDK1.8中只做了一次，我猜測是為了在降低沖突的同時保證效率。
本文的重點是第三步，將經過前面兩步獲取的 hash 值，與HashMap的集合長度減 1 進行按位與 & 運算：(n-1) & hash。但是其實很多哈希算法，為了使元素分布均勻，都是用的取模運算，用一個值去模上總長度，即 n%hash。我們知道在計算機中 & 的效率比 % 高很多，那么如何將 % 轉換為 & 運算呢？在HashMap 中，是用的 (n - 1) & hash 進行運算的，那么這是為什么呢？
這就是本篇博客我們將要明白的問題。
2、結論
我們先給出結論：
當 lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)
也就是說，長度為2的n次冪時，模運算 % 可以變換為按位與 & 運算。
比如：9 % 4 = 1，9的二進制是 1001 ,4-1 = 3,3的二進制是 0011。 9 & 3 = 1001 & 0011 = 0001 = 1
再比如：12 % 8 = 4,12的二進制是 1100,8-1 = 7,7的二進制是 0111。12 & 7 = 1100 & 0111 = 0100 = 4
上面兩個例子4和8都是2的n次冪，結論是成立的，那么當長度不為2的n次冪呢？
比如：9 % 5 = 4，9的二進制是 1001，5-1 = 4,4的二進制是0100。9 & 4 = 1001 & 0100 = 0000 = 0。顯然是不成立的。
為什么是這樣？下面我們來詳細分析。
3、分析過程
首先我們要知道如下規則：
①、"<<" 左移：右邊空出的位上補0，左邊的位將從字頭擠掉，左移一位其值相當於乘2。
②、">>"右移：右邊的位被擠掉，右移一位其值相當於除以2。對於左邊移出的空位，如果是正數則空位補0，若為負數，可能補0或補1，這取決於所用的計算機系統。
③、">>>"無符號右移，右邊的位被擠掉，對於左邊移出的空位一概補上0。
根據二進制數的特點，相信大家很好理解。
對於給定一個任意的十進制數XnXn-1Xn-2....X1X0，我們將其用二進制的表示方法分解：
XnXn-1Xn-2....X1X0 = Xn*2n+Xn-1*2n-1+......+X1*21+X0*20 3-1公式
這里的十進制數只有三位，同理當有N位時，后面2的冪次方依次從 0 開始遞增到 N 。
回到上面的結論： lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)
以及對於除法，被除數是滿足分配率的（除數不滿足）：
成立：（a+b）÷c=a÷c+b÷c 3-2公式
不成立：a÷（b+c）≠a÷c+b÷c
通過 3-1公式以及 3-2 公式，我們可以得出當任意一個十進制除以一個2k的數時，我們可以將這個十進制轉換成3-1公式的表示形式：
(XnXn-1Xn-2....X1X0) / 2k = (Xn*2n+Xn-1*2n-1+......+X1*21+X0*20) / 2k = Xn*2n / 2k +Xn-1*2n-1 / 2k +......+ X1*21 / 2k + X0*20 / 2k
如果我們想求上面公式的余數，相信大家一眼就能看出來：
①、當 0<= k <= n 時，余數為 Xk*2k+Xk-1*2k-1+......+X1*21+X0*20 ,也就是說 比 k 大的 n次冪，我們都舍掉了（大的都能整除 2k），比k小的我們都留下來了(小的不能整除2k)。那么留來下來即為余數。
②、當 k > n 時，余數即為整個十進制數。
看到這里，我們離證明結論已經很近了。再回到上面說的二進制的移位操作，向右移 n 位，表示除以 2n 次方，由此我們得到一個很重要的結論：
一個十進制數對一個2n 的數取余，我們可以將這個十進制轉換為二進制數，將這個二進制數右移n位，移掉的這 n 位數即是余數。
知道怎么算余數了，那么我們怎么去獲取這移掉的 n 為數呢？
我們再看20,21,22....2n 用二進制表示如下：
0001，0010，0100，1000，10000......
我們把上面的數字減一：
0000，0001，0011，0111，01111......
根據與運算符&的規律，當位上都是 1 時，結果才是 1，否則為 0。所以任意一個二進制數對 2k 取余時，我們可以將這個二進制數與（2k-1）進行按位與運算，保留的即使余數。
這就完美的證明了前面給出的結論：
當 lenth = 2n 時，X % length = X & (length - 1)
注意，一定要是2n次方，才滿足上面的公式，否則就是錯誤的。
4、總結
通過上面的分析過程了，我們完美了證明了公式的正確性。在回到 HashMap 的實現過程，我們知道HashMap的初始容量為啥是 1<<4 了吧，而且每次擴容都是擴大一倍。因為必須要完美的滿足 hash 算法。