使用.NET Core與Google Optimization Tools實現加工車間任務規划

前一篇文章《使用.NET Core與Google Optimization Tools實現員工排班計划Scheduling》算是一種針對內容的規划，而針對時間順序任務規划，加工車間的工活兒是一個典型的場景。在加工車間有不同的工活兒，一般稱為作業，每種作業都有多道工序，每道工序只能在特定的機器上完成。工序有不同的時長，而且是不能更改先后的。這些作業正是制造車間大規模生產線的任務，比如汽車零件制造。問題就是，工廠需要做一個最優的規划，使得作業嚴格按工序進行的前提下，消耗的時間最短，這樣就保證了生產效率是最佳的。如果想做到最優規划，以下約束必不可少：

1. 在作業中必須要前一道工序完成才能進行下一道工序。

2. 對於一台機器，一次只能支持一個作業中的一道工序的運轉。

3. 對於每道工序，一旦開始就必須完整地結束。

案例背景

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以下是某個車間的作業情況，job代表作業，（m,p）代表了工序，其中m表示從0開始的機器編號，p代表了這道工序需要消耗的時長。本文假設了一個作業計划：

job 0 =  [(0, 3), (1, 2), (2, 2)]

job 1 =  [(0, 2), (2, 1), (1, 4)]

job 2 =  [(1, 4), (2, 3)]

如上所示，job 0有三道工序，第一道工序在0號機器用掉3個單位時長，第二道在1號機器用掉2個單位時長，第三道在2號機器用掉2個單位時長，以此類推，總共八道工序。

解決方案

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有一種解決方案如下圖，在一個時間軸上，每道工序有一個開始時間，占據一定的時長代表消耗部分，互相不會重疊，所有工序安置完畢，最長的地方就是整個作業全部完成的時長。

上圖給了一個示范，一共消耗12個單位時長，當然這也不是最優的，后面通過編碼我們再計算出最優的結果。

定義約束

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首先我們將工序時長定義為task(i, j)，表示job i的第j道工序，定義t_i, j表示task(i, j)開始的時間點。有了這兩種定義，按照之間的要求，於是有了如下的關系約束：

1. 連接約束，對於同一個作業，前一道工序加上消耗的時長就是后一道工序。比如，對於作業job 0來說，t_0, 2表示第二道工序開始的位置，最多消耗2個單位時長之后，就是第三道工序的位置，即：t_0, 2   + 2  ≤  t_0, 3。

2. 非連接約束，對於不同的作業，要保證前一道工序完成后才能進行下一道工序。比如在1號的機器上有task(0, 2)和task(2, 1)，它們消耗的時長分別是2和4個單位，那么就有：

 t_0, 2   + 2  ≤  t_2, 1     如果task(0, 2)在task(2, 1)前運行的話

或者

t_2, 1   + 4  ≤  t_0, 2      如果task(2, 1)在task(0, 2)前運行的話

基於這個關系，前面案例的作業計划的約束關系如圖所示：

帶箭頭的實線表示了每個作業的工序，有連接約束的情況，而虛線表示了非連接約束的情況，實線有箭頭是因為每個作業的工序是確定的，而虛線沒有箭頭也就說明順序是沒有確定的，這也正是我們要通過規划解決的問題。

最終求解目標

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如果假定p_i, j表示task(i, j)的消耗時長，那么我們要解決的全局問題就是在所有task都完成后，求一個max_i, j  t_i, j +  p_i, j的最小值，表示生產效率最優的結果。

代碼分解

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看過本文開頭談到的前一篇文章后，對於項目初始化和相同的基本概念就不再介紹了。

首先定義一些初始化用的值。

// 創建約束求解器.
var solver = new Solver("jobshop");
var machines_count = 3;
var jobs_count = 3;
var all_machines = Enumerable.Range(0, machines_count);
var all_jobs = Enumerable.Range(0, jobs_count);

再定義出所有的工序。MakeFixedDurationIntervalVar就是OR-Tools專門用來創建間隔時間的變量類型。

// 將任務拆分成對應的機器和用時的結構
// job 0 = [(0, 3), (1, 2), (2, 2)]
// job 1 = [(0, 2), (2, 1), (1, 4)]
// job 2 = [(1, 4), (2, 3)]
var machines = new int[][]
{
    new[] { 0, 1, 2 },
    new[] { 0, 2, 1 },
    new[] { 1, 2 }
};

var processing_times = new int[][]
{
    new[] { 3, 2, 2 },
    new[] {2, 1, 4 },
    new[] { 4, 3 }
};

// 計算總用時
var horizon = 0;
foreach (var i in all_jobs)
    horizon += processing_times[i].Sum();

// 創建工序變量
var all_tasks = new Dictionary<(int, int), IntervalVar>();
foreach (var i in all_jobs)
{
    foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length))
    {
        all_tasks[(i, j)] = solver.MakeFixedDurationIntervalVar(0,
                                                    horizon,
                                                    processing_times[i][j],
                                                    false,
                                                    $"Job_{i}_{j}");
    }
}

然后定義連接約束和非連接約束，MakeDisjunctiveConstraints專門用來創建非連接約束的，StartsAfterEnd專門用來創建連接約束。

// 創建連接的順序變量及連接關系
var all_sequences = new SequenceVarVector();
//var all_machines_jobs = new List<IntervalVar>();
foreach (var i in all_machines)
{
    var machines_jobs = new IntervalVarVector();
    foreach (var j in all_jobs)
    {
        foreach (var k in Enumerable.Range(0, machines[j].Length))
        {
            if (machines[j][k] == i)
            {
                machines_jobs.Add(all_tasks[(j, k)]);
            }
        }
    }
    var disj = solver.MakeDisjunctiveConstraint(machines_jobs, $"machine {i}");
    all_sequences.Add(disj.SequenceVar());
    solver.Add(disj);
}

// 定義連接約束
foreach (var i in all_jobs)
{
    foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length - 1))
    {
        solver.Add(all_tasks[(i, j + 1)].StartsAfterEnd(all_tasks[(i, j)]));
    }
}

重點的部分，就是創建求解目標了。MakeMinimize用來求最小值，第二個參數表示每次移動的步長，直到有解為止。

// 創建求解的極值目標
var end_tasks = new IntVarVector();
foreach (var i in all_jobs)
{
    end_tasks.Add(all_tasks[(i, machines[i].Length - 1)].EndExpr().Var());
}
var obj_var = solver.MakeMax(end_tasks);
var objective_monitor = solver.MakeMinimize(obj_var.Var(), 1);

// 創建求解的對象
var sequence_phase = solver.MakePhase(all_sequences.ToArray(), Solver.SEQUENCE_DEFAULT);
var vars_phase = solver.MakePhase(new[] { obj_var.Var() }, Solver.CHOOSE_FIRST_UNBOUND, Solver.ASSIGN_MIN_VALUE);
var main_phase = solver.Compose(new[] { sequence_phase, vars_phase });

最后是顯示最優解結果的部分。

// 創建最后一個解決方案
var collector = solver.MakeLastSolutionCollector();

// 添加需要關注的變量
collector.Add(all_sequences.ToArray());
collector.AddObjective(obj_var.Var());

foreach (var i in all_machines)
{
    var sequence = all_sequences[i];
    var sequence_count = sequence.Size();
    for (var j = 0; j < sequence_count; j++)
    {
        var t = sequence.Interval(j);
        collector.Add(t.StartExpr().Var());
        collector.Add(t.EndExpr().Var());
    }
}

// 顯示結果
var disp_col_width = 10;
if (solver.Solve(main_phase, new SearchMonitor[] { objective_monitor, collector }))
{
    Console.WriteLine("\nOptimal Schedule Length: {0}\n", collector.ObjectiveValue(0));
    var sol_line = "";
    var sol_line_tasks = "";
    Console.WriteLine("Optimal Schedule\n");

    foreach (var i in all_machines)
    {
        var seq = all_sequences[i];
        sol_line += $"Machine {i}: ";
        sol_line_tasks += $"Machine {i}: ";
        var sequence = collector.ForwardSequence(0, seq);
        var seq_size = sequence.Count;

        foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size))
        {
            var t = seq.Interval(sequence[j]);
            sol_line_tasks += t.Name().PadRight(disp_col_width, ' ');
        }

        foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size))
        {
            var t = seq.Interval(sequence[j]);
            var sol_tmp = $"[{collector.Value(0, t.StartExpr().Var())},{collector.Value(0, t.EndExpr().Var())}]";
            sol_line += sol_tmp.PadRight(disp_col_width, ' ');
        }
        sol_line += "\n";
        sol_line_tasks += "\n";
    }
    Console.WriteLine(sol_line_tasks);
    Console.WriteLine("Time Intervals for Tasks\n");
    Console.WriteLine(sol_line);
}

運行后結果如下：

可以看到，這一次求得了最優解，與前面給的示范的結果不一樣了，總時長上更少，是11而不是12了。對應的圖解是這樣：

是不是覺得很有趣，躍躍欲試了！動手做就是最好的開始。

最后放出完整代碼：

using Google.OrTools.ConstraintSolver;
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

public class ConsoleApp1
{
    static void Main()
    {
        // 創建約束求解器.
        var solver = new Solver("jobshop");
        var machines_count = 3;
        var jobs_count = 3;
        var all_machines = Enumerable.Range(0, machines_count);
        var all_jobs = Enumerable.Range(0, jobs_count);

        // 將任務拆分成對應的機器和用時的結構
        // job 0 = [(0, 3), (1, 2), (2, 2)]
        // job 1 = [(0, 2), (2, 1), (1, 4)]
        // job 2 = [(1, 4), (2, 3)]
        var machines = new int[][]
        {
            new[] { 0, 1, 2 },
            new[] { 0, 2, 1 },
            new[] { 1, 2 }
        };

        var processing_times = new int[][]
        {
            new[] { 3, 2, 2 },
            new[] {2, 1, 4 },
            new[] { 4, 3 }
        };

        // 計算總用時
        var horizon = 0;
        foreach (var i in all_jobs)
            horizon += processing_times[i].Sum();

        // 創建工序變量
        var all_tasks = new Dictionary<(int, int), IntervalVar>();
        foreach (var i in all_jobs)
        {
            foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length))
            {
                all_tasks[(i, j)] = solver.MakeFixedDurationIntervalVar(0,
                                                          horizon,
                                                          processing_times[i][j],
                                                          false,
                                                          $"Job_{i}_{j}");
            }
        }

        // 創建連接的順序變量及連接關系
        var all_sequences = new SequenceVarVector();
        //var all_machines_jobs = new List<IntervalVar>();
        foreach (var i in all_machines)
        {
            var machines_jobs = new IntervalVarVector();
            foreach (var j in all_jobs)
            {
                foreach (var k in Enumerable.Range(0, machines[j].Length))
                {
                    if (machines[j][k] == i)
                    {
                        machines_jobs.Add(all_tasks[(j, k)]);
                    }
                }
            }
            var disj = solver.MakeDisjunctiveConstraint(machines_jobs, $"machine {i}");
            all_sequences.Add(disj.SequenceVar());
            solver.Add(disj);
        }

        // 定義連接約束
        foreach (var i in all_jobs)
        {
            foreach (var j in Enumerable.Range(0, machines[i].Length - 1))
            {
                solver.Add(all_tasks[(i, j + 1)].StartsAfterEnd(all_tasks[(i, j)]));
            }
        }

        // 創建求解的極值目標
        var end_tasks = new IntVarVector();
        foreach (var i in all_jobs)
        {
            end_tasks.Add(all_tasks[(i, machines[i].Length - 1)].EndExpr().Var());
        }
        var obj_var = solver.MakeMax(end_tasks);
        var objective_monitor = solver.MakeMinimize(obj_var.Var(), 1);

        // 創建求解的對象
        var sequence_phase = solver.MakePhase(all_sequences.ToArray(), Solver.SEQUENCE_DEFAULT);
        var vars_phase = solver.MakePhase(new[] { obj_var.Var() }, Solver.CHOOSE_FIRST_UNBOUND, Solver.ASSIGN_MIN_VALUE);
        var main_phase = solver.Compose(new[] { sequence_phase, vars_phase });

        // 創建最后一個解決方案
        var collector = solver.MakeLastSolutionCollector();

        // 添加需要關注的變量
        collector.Add(all_sequences.ToArray());
        collector.AddObjective(obj_var.Var());

        foreach (var i in all_machines)
        {
            var sequence = all_sequences[i];
            var sequence_count = sequence.Size();
            for (var j = 0; j < sequence_count; j++)
            {
                var t = sequence.Interval(j);
                collector.Add(t.StartExpr().Var());
                collector.Add(t.EndExpr().Var());
            }
        }

        // 顯示結果
        var disp_col_width = 10;
        if (solver.Solve(main_phase, new SearchMonitor[] { objective_monitor, collector }))
        {
            Console.WriteLine("\nOptimal Schedule Length: {0}\n", collector.ObjectiveValue(0));
            var sol_line = "";
            var sol_line_tasks = "";
            Console.WriteLine("Optimal Schedule\n");

            foreach (var i in all_machines)
            {
                var seq = all_sequences[i];
                sol_line += $"Machine {i}: ";
                sol_line_tasks += $"Machine {i}: ";
                var sequence = collector.ForwardSequence(0, seq);
                var seq_size = sequence.Count;

                foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size))
                {
                    var t = seq.Interval(sequence[j]);
                    sol_line_tasks += t.Name().PadRight(disp_col_width, ' ');
                }

                foreach (var j in Enumerable.Range(0, seq_size))
                {
                    var t = seq.Interval(sequence[j]);
                    var sol_tmp = $"[{collector.Value(0, t.StartExpr().Var())},{collector.Value(0, t.EndExpr().Var())}]";
                    sol_line += sol_tmp.PadRight(disp_col_width, ' ');
                }
                sol_line += "\n";
                sol_line_tasks += "\n";
            }
            Console.WriteLine(sol_line_tasks);
            Console.WriteLine("Time Intervals for Tasks\n");
            Console.WriteLine(sol_line);
        }
    }
}