以《現代密碼學》習題 1.3 為例：
設多表代換密碼中：
\[A=\begin{bmatrix} {3} & {13}&{21}&{9} \\ {15}&{10}&{6}&{25}\\ {10}&{17}&{4}&{8}\\ {1}&{23}&{7}&{2} \end{bmatrix} ， B=\begin{bmatrix} {1}\\{21}\\{8}\\{17} \end{bmatrix} \]
加密為：\(C_i≡A{M_i}+\textbf{B}(mod\ 26)\)
對明文PLEASE SEND ME THE BOOK, MY CREDIT CARD NO IS SIX ONE TWO ONE THREE EIGHT SIX ZERO ONE SIX EIGHT FOUR NINE SEVEN ZERO TWO，
用解密變換
\(M_i≡A^{-1}(C_i-\textbf{B})(mod\ 26)\)
驗證你的結果，其中
\[A^{-1}=\begin{bmatrix} {26} & {13}&{20}&{5} \\ {0}&{10}&{11}&{0}\\ {9}&{11}&{15}&{22}\\ {9}&{22}&{6}&{25} \end{bmatrix} \]
- 根據書 1.4.2 ，先將字符串中空格去除，再取 N 位(N 為矩陣 A 的秩)的字串，進行矩陣乘法，最后再把空格加上，輸出。
- 例 1.4.2 的簡單驗證:
#include<bits/stdc++.h>
#define rap(a,b) for(int a=0;a<b;++a)
using namespace std;
string encypt(string m,double a[][3],double b[]){
string ans;
for (int i=0;i<3;++i){
int tmp=0;
for (int j=0;j<3;++j){
tmp+=a[i][j]*(m[j]-'A');
}
tmp+=b[i];tmp%=26;
ans+=tmp+'A';
}
return ans;
}
string decypt(string c,double a[][3],double b[]){
string ans;
for(int i=0;i<3;++i){
int tmp=0;
for(int j=0;j<3;++j){
tmp+=a[i][j]*(c[j]-'A'-b[j]);
}
ans+=tmp%26+'A';
}
return ans;
}
int main(){
double a[3][3]={
11,2,19,
5,23,25,
20,7,17
};
double b[3]={0,0,0};
string c="YOUR PIN NO IS FOUR ONE TWO SIX";
//記錄空格位置並去空格
vector<int>pos;
int tmp=c.find(' ');
while(tmp!=-1)
{
pos.push_back(tmp);
c.erase(tmp,1);
tmp=c.find(' ');
}
int i=0;
string m;
while(i!=c.size()){
m+=encypt(c.substr(i,3),a,b);
i+=3;
}
double a2[3][3]={
10,23,7,
15,9,22,
5,9,21
};
i=0;
string c2;
while(i!=m.size()){
c2+=decypt(m.substr(i,3),a2,b);
i+=3;
}
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)c.insert(pos[i]," ");
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)m.insert(pos[i]," ");
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)c2.insert(pos[i]," ");
cout<<c<<endl;
cout<<m<<endl;
cout<<c2<<endl;
return 0;
}
- 運行結果：
- 仿照例題，很容易得出習題 1.3 的算法實現：
#include<bits/stdc++.h>
#define rap(a,b) for(int a=0;a<b;++a)
using namespace std;
string encypt(string m,double a[][4],double b[]){
string ans;
for (int i=0;i<4;++i){
int tmp=0;
for (int j=0;j<4;++j){
tmp+=a[i][j]*(m[j]-'A');
}
tmp+=b[i];
ans+=tmp%26+'A';
}
return ans;
}
string decypt(string c,double a[][4],double b[]){
string ans;
int cc[4];
for(int i=0;i<4;++i)cc[i]=(int)(c[i]-'A'-b[i]+26)%26;
for(int i=0;i<4;++i){
int tmp=0;
for(int j=0;j<4;++j){
tmp+=a[i][j]*cc[j];
}
ans+=tmp%26+'A';
}
return ans;
}
int main(){
double a[4][4]={
3,13,21,9,
15,10,6,25,
10,17,4,8,
1,23,7,2
};
double b[4]={1,21,8,17};
string c="PLEASE SEND ME THE BOOK, MY CREDIT CARD NO IS SIX ONE TWO ONE THREE EIGHT SIX ZERO ONE SIX EIGHT FOUR NINE SEVEN ZERO TWO";
//記錄空格位置並去空格
vector<int>pos;
int tmp=c.find(' ');
while(tmp!=-1)
{
pos.push_back(tmp);
c.erase(tmp,1);
tmp=c.find(' ');
}
//加密
int i=0;
string m;
while(i!=c.size()){
m+=encypt(c.substr(i,4),a,b);
i+=4;
}
//解密
double a2[4][4]={
26,13,20,5,
0,10,11,0,
9,11,15,22,
9,22,6,25
};
string c2;
i=0;
while(i!=m.size()){
c2+=decypt(m.substr(i,4),a2,b);
i+=4;
}
//還原空格
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)c.insert(pos[i]," ");
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)m.insert(pos[i]," ");
for(i=pos.size()-1;i>=0;--i)c2.insert(pos[i]," ");
cout<<c<<endl;
cout<<m<<endl;
cout<<c2<<endl;
return 0;
}
- 輸出結果：
- What's?! 居然不對？？讓我們對前四個字符 "PLEA" 手工驗算一下：
加密過程：
\[M=\begin{bmatrix} {3} & {13}&{21}&{9} \\ {15}&{10}&{6}&{25}\\ {10}&{17}&{4}&{8}\\ {1}&{23}&{7}&{2} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} {15}\\ {11}\\ {4}\\ {0} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {272}\\{359}\\{353}\\{296} \end{bmatrix} +B\begin{bmatrix} {1}\\{21}\\{8}\\{17} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {273}\\{380}\\{361}\\{313} \end{bmatrix} mod\ 26= \begin{bmatrix} {13}\\{16}\\{23}\\{1} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} {'N'}\\{'Q'}\\{'X'}\\{'B'} \end{bmatrix} \]
解密過程：
\[C=(\begin{bmatrix} {13}\\{16}\\{23}\\{1} \end{bmatrix} -\begin{bmatrix} {1}\\{21}\\{8}\\{17} \end{bmatrix})= \begin{bmatrix} {12}\\{-5}\\{15}\\{-16} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} {26} & {13}&{20}&{5} \\ {0}&{10}&{11}&{0}\\ {9}&{11}&{15}&{22}\\ {9}&{22}&{6}&{25} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {935}\\{375}\\{784}\\{910} \end{bmatrix}mod\ 26= \begin{bmatrix} {'Z'}\\{'L'}\\{'E'}\\{'A'} \end{bmatrix} \]
說明算法沒有任何問題，那么問題就在問題本身了。
將給定的 \(A\) 與 \(A^{-1}\) 進行乘法運算：
\[A*A^{-1}=\begin{bmatrix} {3} & {13}&{21}&{9} \\ {15}&{10}&{6}&{25}\\ {10}&{17}&{4}&{8}\\ {1}&{23}&{7}&{2} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} {26} & {13}&{20}&{5} \\ {0}&{10}&{11}&{0}\\ {9}&{11}&{15}&{22}\\ {9}&{22}&{6}&{25} \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} {348} & {598} & {572}& {702}\\ {669}& {911}& {650}& {832}\\ {368}& {520}& {495}& {338}\\ {107}& {364}& {390}& {209} \end{bmatrix} \]
而結果矩陣 mod 26 並不是單位矩陣，經過計算，正確的 \(A^{-1}=\)
\[\begin{bmatrix} {23} & {13}&{20}&{5} \\ {0}&{10}&{11}&{0}\\ {9}&{11}&{15}&{22}\\ {9}&{22}&{6}&{25} \end{bmatrix} \]
再次帶入程序驗證：
- 感謝現代密碼學編者讓我浪費的兩小時。
以《現代密碼學》習題 1.4 為例:
首先求出
\[C=\begin{bmatrix} {3}\\{14}\\{13}\\{19} \end{bmatrix}， M=\begin{bmatrix} {4}\\{11}\\{13}\\{8} \end{bmatrix} \]
設
\[A=\begin{bmatrix} {a}&{b}\\{c}&{d} \end{bmatrix}有 \begin{bmatrix} {3}\\{14} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} {a}&{b}\\{c}&{d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {4}\\{11} \end{bmatrix}， \begin{bmatrix} {13}\\{19} \end{bmatrix}* \begin{bmatrix} {a}&{b}\\{c}&{d} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} {4}\\{11} \end{bmatrix} \]
可得
\[\begin{cases} {3*a+14*b≡4(mod\ 26)} &{①}\\ {3*c+14*d≡11(mod\ 26)}&{②}\\ {13*a+19*b≡13(mod\ 26)}&{③}\\ {13*c+19*d≡8(mod\ 26)}&{④} \end{cases} \]
下面給出 b 的解法：
\[將①與③聯立化簡得125b≡13(mod\ 26)\\(5*26-5)b≡13(mod\ 26)\\-5b≡13(mod\ 26)\\-5*5b≡13*5(mod\ 26)\\\\-(26-1)b≡13(mod\ 26)\\b≡13(mod\ 26)\\ 得 b=13。 \]
同理解得：
\[A=\begin{bmatrix} {10}&{13}\\{9}&{23} \end{bmatrix} \]