快速數論變換(NTT)小結

NTT

在FFT中，我們需要用到復數，復數雖然很神奇，但是它也有自己的局限性——需要用double類型計算，精度太低

那有沒有什么東西能夠代替復數且解決精度問題呢？

這個東西，叫原根

原根

階

若\(a,p\)互素，且\(p>1\)，

對於\(a^n \equiv 1 \pmod{p}\)最小的\(n\)，我們稱之為\(a\)模\(p\)的階,記做\(\delta_p(a)\)

例如：

\(\delta_7(2)=3\)，

\(2^1 \equiv 2 \pmod{7}\)

\(2^2 \equiv 4 \pmod{7}\)

\(2^3 \equiv 1 \pmod{7}\)

原根

原根的定義

設\(p\)是正整數，\(a\)是整數，若\(\delta_p(a)\)等於\(\phi(p)\)，則稱\(a\)為模\(p\)的一個原根

\(\delta_7(3)=6=\phi(7)\)，因此\(3\)是模\(7\)的一個原根

注意原根的個數是不唯一的

如果模數\(p\)有原根，那么它一定有\(\phi(\phi(p))\)個原根

原根存在的重要條件為\(m = 2,4,p^a,2p^{a}\)，其中\(p\)為奇素數\(a \ge 1\)

例如

原根有一個非常重要的定理：

• 若\(P\)為素數，假設一個數\(g\)是\(P\)的原根，那么\(g^i \mod P (1<g<P,0<i<P)\)的結果兩兩不同

不要問我為什么，因為我也不知道。。

考慮原根為什么能代替單位根進行運算，(這部分可以跳過)

原因很簡單，因為它具有和單位根相同的性質

在FFT中，我們用到了單位根的四條性質，而原根也滿足這四條性質

這樣我們最終可以得到一個結論

\[\omega_n \equiv g^\frac{p-1}{n} \mod p \]

然后把FFT中的\(\omega_n\)都替換掉就好了

\(p\)建議取\(998244353\)，它的原根為\(3\)。

如何求任意一個質數的原根呢？

對於質數\(p\)，質因子分解\(p−1\)，若\(g^{\frac{p-1}{p_i}} \neq 1 \pmod p\)恆成立，\(g\)為\(p\)的原根

實現

NTT求卷積代碼:

確實比FFT快了不少

#include<cstdio>
#define getchar() (p1 == p2 && (p2 = (p1 = buf) + fread(buf, 1, 1<<21, stdin), p1 == p2) ? EOF : *p1++)
#define swap(x,y) x ^= y, y ^= x, x ^= y
#define LL long long 
const int MAXN = 3 * 1e6 + 10, P = 998244353, G = 3, Gi = 332748118; 
char buf[1<<21], *p1 = buf, *p2 = buf;
inline int read() { 
    char c = getchar(); int x = 0, f = 1;
    while(c < '0' || c > '9') {if(c == '-') f = -1; c = getchar();}
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * f;
}
int N, M, limit = 1, L, r[MAXN];
LL a[MAXN], b[MAXN];
inline LL fastpow(LL a, LL k) {
	LL base = 1;
	while(k) {
		if(k & 1) base = (base * a ) % P;
		a = (a * a) % P;
		k >>= 1;
	}
	return base % P;
}
inline void NTT(LL *A, int type) {
	for(int i = 0; i < limit; i++) 
		if(i < r[i]) swap(A[i], A[r[i]]);
	for(int mid = 1; mid < limit; mid <<= 1) {	
		LL Wn = fastpow( type == 1 ? G : Gi , (P - 1) / (mid << 1));
		for(int j = 0; j < limit; j += (mid << 1)) {
			LL w = 1;
			for(int k = 0; k < mid; k++, w = (w * Wn) % P) {
				 int x = A[j + k], y = w * A[j + k + mid] % P;
				 A[j + k] = (x + y) % P,
				 A[j + k + mid] = (x - y + P) % P;
			}
		}
	}
}
int main() {
	N = read(); M = read();
	for(int i = 0; i <= N; i++) a[i] = (read() + P) % P;
	for(int i = 0; i <= M; i++) b[i] = (read() + P) % P;
	while(limit <= N + M) limit <<= 1, L++;
	for(int i = 0; i < limit; i++) r[i] = (r[i >> 1] >> 1) | ((i & 1) << (L - 1));	
	NTT(a, 1);NTT(b, 1);	
	for(int i = 0; i < limit; i++) a[i] = (a[i] * b[i]) % P;
	NTT(a, -1);	
	LL inv = fastpow(limit, P - 2);
	for(int i = 0; i <= N + M; i++)
		printf("%d ", (a[i] * inv) % P);
	return 0;
}