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4月29日，1~9
ZJOI結束了，感覺該做點數學題提神醒腦。於是挑了幾道奧賽經典上的幾題划划水~~
6月23日，10~12
Update：期末考試結束了，來填填坑~
7月20日，13~17
Update：暑假玩瘋了，學習一下不動點冷靜一下
7月21日，18~21
Update：奧經上有一些小錯誤？進行一些修正。凸函數真奇妙
7月22日，22~24
Update：函數方程
1、一個數集的和是指它的所有元素的和，令S是一些不超過15的正整數組成的集合，
S的任意兩個不相交的子集合的和不相等，並且在所有具有上述性質的集合中，S的和最大。
求集合S的和。
（第二章·習題B·1）
先證明集合大小不超過5，然后構造即可。答案：61
2、n是一個正整數，A是集合{1,2,...,n}的子集的一個集合，使得A內無元素包含A的其他元素。
求A的全部元素的個數的最大值。
（第二章·習題B·3）
我的大致想法是，對於A內子集，如果最小的大小為k，且k<[n/2]，
我們把所有包含這些子集的大小為k+1的子集去替換這些大小為k的子集，這樣A依然合法，並且容易證明元素個數不會減少。
（大致證明：S1為大小為k的子集的集合，設S2為大小為k+1的子集的包含這些子集的集合。
S1內任意元素對應S2中(n-k)個元素，S2中任意元素最多對應S1中(k+1)個元素。
因為n-k>=k+1，又因為對應關系是互相的，所以S2元素個數>=S1元素個數）
對於A內子集，如果最大的大小為k，且k>[n/2]，
我們把所有被這些子集包含的大小為k-1的子集去替換這些大小為k的子集，這樣A依然合法，同理容易證明元素個數不會減少。
於是，當A內子集大小都為[n/2]時，A的全部元素個數最大。
此時元素個數為C(n,[n/2])。
題解做法比較有趣，對於1到n的全排列，種數為n!個。設A中有fk個k元子集作為元素。|A|=f1+f2+...+fn
當fk>0，對於fk個k元子集中任意一個子集{a1,a2,...,ak}，取出前k個元素恰好構成子集{a1,a2,...,ak}的全排列，共有k!(n-k)!個。
由於A中兩兩元素不包含。因此對於A中所有元素用上述方法取出的全排列必然兩兩不同。
所以
，
當A取{1,2,...,n}中全部[n/2]元子集組成的集合時，恰達到|A|=C(n,[n/2])
3、n是不小於3的正整數，f(n)表示不是n的因數的最小正整數（例如f(12)=5）。
如果f(n)≥3，又可作f(f(n))，類似的，如果f(f(n))≥3，又可作f[f(f(n))]等等。
如果f(f(···f(n)···))=2 （前面有k次f），就把k叫做n的長度。
如果用Ln表示n的長度，試對任意正整數n(n≥3)，求Ln，並證明你的結論。
（第三章·習題B·2）
顯然，當n是奇數時Ln=1。
當n為偶數時，設n=2^k * (2m+1) （k是正整數，m是非負整數）
若 1,2,...,2^(k+1)-1 都是n的約數，那么顯然f(n)=2^(k+1)，Ln=3。
其他情況下，f(n)一定是個奇數，故Ln=2。
4、函數f(x,y)對所有的非負整數x,y滿足：
1.f(0,y)=y+1
2.f(x+1,0)=f(x,1)
3.f(x+1,y+1)=f[x,f(x+1,y)]
試確定f(4,1981)
（第三章·習題B·4）
f(0,n)=n+1
f(1,0)=2，f(1,n) = f(0,f(1,n-1)) = f(1,n-1) +1，故 f(1,n)=n+2
f(2,0)=3，f(2,n) = f(1,f(2,n-1)) = f(2,n-1) +2，故 f(2,n)=2n+3
f(3,0)=5，f(3,n) = f(2,f(3,n-1)) = 2*f(3,n-1)+3，故 f(3,n) = 2^n *8-3
f(4,0)=13，f(4,n) = f(3,f(4,n-1)) = 2^f(4,n-1) *8 - 3。設g(n) = f(4,n)+3，g(n) = 2^g(n-1)
則又g(0) = 2^2^2，g(1981) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984個2）
f(4,1984) = 2^2^2^2...^2（1983次^2，一共1984個2）- 3
5、設a與d是非負數，b與c是正數，並且b+c≥c+d，試求下式的最小值：
（第四章·習題A·5）
題解做法真是妙啊
不妨設a+b≥c+d
原式=(b+c)/(c+d) - c*(1/(c+d)-1/(a+b))
≥(a+b+c+d)/(2c+2d) - (c+d)*(1/(c+d)-1/(a+b))
=(a+b)/(2(c+d)) - 1/2 +(c+d)/(a+b)
≥2*sqrt(1/2) -1/2
=sqrt(2) - 1/2
等號成立當且僅當 d=0，b+c=a+d，sqrt(2) (c+d) = a+b
當a=sqrt(2)+1, b=sqrt(2)-1, c=2, d=0，原式最小值為 sqrt(2) - 1/2
6、設x,y是正數，S是x,y+1/x,1/y中最小的數，求S的最大可能值。x,y取何值時能達到最大值？
（第四章·習題B·2）
我的想法是，原題顯然可以換1/y為y'。S=min(x,1/x+1/y',y')。求S的最大值。
x,y可以交換，所以不妨設x<=y。顯然一定存在x<=z<=y，使得1/z+1/z=1/x+1/y'（f(x)=1/x（x>0）函數的連續性）
而此時min(z,z,1/z+1/z) >= min(x,y',1/x+1/y')
所以可以證明，當S取得最大值時，x等於y'。S=min(x,2/x)。顯然x=sqrt(2),y=sqrt(2)/2時，S達到最大值sqrt(2)。
題解有一個更自然的做法。S<=x，S<=y+1/x，S<=1/y，且三個不等式中至少有一個等號成立。
S<=y+1/x<=1/S+1/S=2/S。S<=sqrt(2)。
而當x=sqrt(2),y=sqrt(2)/2時，S恰好達到最大值sqrt(2)。
7、n個正數x1,x2,...,xn之和等於1，設S是下列各數中最大的數：
求S的最小可能值，x1,x2,...,xn取何值時能達到最小值？
（第四章·習題B·3）
我們設Si = xi/(1+x1+x2+...+xi)。那么S=max(S1,S2,...,Sn)。要使S最小。
顯然(1-S1)*(1-S2)*...*(1-Sn) = 1/2
顯然一定存在一個 1-Si <= 2^(-1/n)。即一定存在一個Si>=1-2^(-1/n)。
所以我們得出結論：S>=1-2^(-1/n)
當S=1-2^(-1/n)時，顯然S1=S2=...=Sn=1-2^(-1/n)。
我們嘗試構造解，當xi=2^(i/n) - 2^((i-1)/n)時，S=1-2^(-1/n)
8、求函數
的最小值
（第五章·習題B·3）
在拋物線y^2=2x上取一個點P，使得它到點A(3,2)，點B(1/2,0)的距離和最小。
容易發現，A在拋物線內部，點B(1/2,0)恰好是拋物線焦點，
根據拋物線定義，P到B的距離恰好等於P到准線x=-1/2距離。
PA+PB=AP+P到准線距離>=A到准線距離=7/2。當過A做准線垂線交拋物線於點P時，等號成立。故最小值為7/2。
9、求函數
的最小值
（第五章·習題B·5）
方法一（粗暴的方法）：
，
通過余弦定理得知該式的值為兩邊分別為2sqrt(3)，sqrt(3)，夾角為x，第三條邊的長度。
第二、第三個式子同理。第四個式子：
於是題目可以轉換成，A(0, 2sqrt(3)), B(1,0), C(2,0), D(2,sqrt(3)，OP=sqrt(3)，求PA+PB+PC+PD最小。
我們發現以O為圓心，sqrt(3)為半徑的圓與AC相切，切點(3/2,sqrt(3)/2)在BD上。
故P取(3/2,sqrt(3)/2)時，PA+PB+PC+PD的值最小，為6
方法二（題解的做法就正常多了）：
可看做P與原點距離為sqrt(3)，即P坐標為(sqrt(3)cosx,sqrt(3)sinx)，該式的值就是P到(2sqrt(3),0)的距離。
以此類推，最后回到P到A、B、C、D四點距離最小值問題。和方法一一樣。
答案為6。
10、求函數
的最小值
（第五章·習題B·8）
方法一：
湊一湊平方，然后不等式暴算
當
等號成立。f(x,y)最小值為1/2。
方法二（題解做法）：
題解似乎很喜歡用數形結合？
即兩函數
上的點的最近距離的平方。
故最近距離顯然是sqrt(2)/2，最小值為1/2。
11、設x,y∈R+，求函數
的最小值.
（第五章·例12）
數形結合大法好啊。
如圖，EA,EB,EC,ED之間相鄰兩條射線夾角為30°。
EA=ED=sqrt(3)
EB=x,EC=y。
可知原式的值為AB+BC+CD，最小值為AD=sqrt(6)
12、
（第五章·例15）
容易看出可以根號下可以因式分解
所以f(x)最大值為3sqrt(35).
13、設{f(n)}是取正整數值的嚴格遞增序列。已知 f(2) = 2，當m,n互質時，f(m·n) = f(m)·f(n)
求證：f(n) = n
（第六章·例2）
14、利用f(x)的不動點解方程
15、求出所有的函數f，它的定義域為一切正實數，並且函數值為正實數，滿足下述條件：
(1). f[xf(y)] = yf(x) , 對任意x,y∈R+
(2). 當x->∞時，f(x)->0
（第六章·例6）
16、證明不存在任意實數x均滿足f[f(x)] = x^2 - 1996的函數f(x)
（第六章·習題B·3）
17、設p1(x)=x^2-2，pj(x) = p1[p(j-1)(x)]。試證：對於任意自然數n，pn(x)的所有不動點全是相異的實數。
（第六章·習題B·1）
三角換元真是妙啊！
18、試證：若函數f(x)在區間I上是平方下凸，也是幾何下凸的，則一定是算術下凸的。
（第七章·例2）
試證：函數f(x) = 1/x^k + a（x>0，a,k∈R+）是0類下凸函數
（第七章·例3）
19、已知m≥0，f(x)=x^2+sqrt(m)*x+m+1。求證：對一切x1,x2,…,xn∈R+，均有
其中等號成立當且僅當x1=x2=...=xn成立。
（第七章·例8）
奧經給了一種有趣的歸納法：
20、設xi∈R(i=1,2,...,n)，x1+x2+...+xn = 1，k,m∈N+。求證：
（第七章·習題A·2）
不是很理解題解的最后一句話（誰懂的話教教我吧），所以這里搬上自己的做法
與 習題B·2 做法類似
21、試證：冪函數f(x)=x^a（x>0，0<a<1）是上凸函數。
（第七章·例1）
題解給出了一種神奇的做法
上述伯努利不等式可由求導輕松證明
22、試求所有函數f:Z->Z，使得對一切n∈Z，有f[f(n)]+f(n)=2n+3，且f(0)=1
（第八章·例3）
感覺更像數學歸納題？
23、設函數f(x)對所有x>0有定義，且滿足下面條件：
(i) 函數f(x)在(0,+∞)上嚴格遞增；
(ii) 對所有x>0，均有f(x)>-1/x
(iii) 對所有x>0，均有f(x)·f[f(x)+1/x]=1
（1）求函數值f(1)
（2）給出一個滿足(1)中三個條件的函數.
（第八章·例6）
雖然比較容易，但答案帶根號真是意想不到
24、求所有的函數f:R+->R+，滿足對任意的x,y∈R+，f(x)·f(y)=f(y)·f[xf(y)]+1/(xy)。
（第八章·例9）
捷克和斯洛伐克的題好難啊。。
至關重要的一步：令x=f(y)
