[codeforces 901E] Cyclic Cipher 循環卷積-Bluestein's Algorithm

題目大意：

　　傳送門

　　給兩個數列${B_i}、{C_i}$，長度均為$n$，且${B_i}$循環移位線性無關，即不存在一組系數${X_i}$使得對於所有的$k$均有$\sum_{i=0}^{n-1} X_i  B_{k-i \mod n} =0$。

　　已知$C$是由$B$與$A$構造得到：

　 　(搬原圖)。

　　求所有合法的$A$序列。

題解：

　　首先把式子稍加化簡會得到:

　　顯然是個差分式，然后就會得到以下兩種結果（以下$B_{i}$均為$B_{i\mod n}$）：

　　　　

　　問題是，這兩個式子都是對的嗎？

　　顯然不是。

　　我們考慮題目中說的${B_i}$為循環移位線性無關，但是$\Delta B_i=B_{i+1}-B_{i}$構成的${\Delta B_{i}}$我們是不知道它是否是線性無關的，如果是線性無關，那么它是正確的，反之，我們會知道必然存在一組${X_i}$使得若${A}$有解，則有無窮解，但是回帶是錯誤的。

　　但是二式我們如果可以求解可知$\Delta A_i=A_{i+1}-A{i}$是有唯一解的，然后考慮回帶求$A_0$我們就可以得到最多兩個解。

　　所以本題就變成了求：

　　 

　　設$B'_i=B_{-i}$，即：

　　  

　　即，問題變為求出$\Delta C$的點值然后除去$B'_{*Z/n}$的點值再除去$-2$我們再由$\Delta A$的點值求出其系數即可。

　　當然，我們可以知道$\Delta A$的系數小於$2e3$，所以我們防止卡精使用$NTT$。

　　由於並不知道$B'_{*Z/n}$的長度，所以不能裸上，需要使用Bluestein's Algorithm。

　　這個東西網上幾乎沒有講解，好像毛爺爺的《再探》里面有說？

　　具體就是：

　　

　　這樣就可以使用一次卷積來求$B'$的點值了。（$NTT$並不能直接拆成上面的形式，因為數論變換是沒法消去下面除的那個2）

　　所以將$ik$變為然后拆解即可。

代碼： 

#include "bits/stdc++.h"

typedef long long ll;

inline int read() {
    int s=0,k=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'|ch>'9') ch=='-'?k=-1:0,ch=getchar();
    while (ch>47&ch<='9') s=s*10+(ch^48),ch=getchar();
    return s*k;
}

const int N=6e5+10;

ll mod,g,w[2][N],W[2][N];

inline ll Mult ( ll a,ll b ) {
    return ( a*b - (ll)( (long double) a*b/mod )*mod + mod )% mod;
}

inline ll powmod ( ll a, ll b ) {
    ll ret=1;
    while (b) {
        if (b&1) ret=Mult ( ret, a );
        b>>=1,a=Mult ( a, a);
    }return ret;
}

inline ll gcd  ( ll a,ll b ) { return b?gcd(b,a%b) : a; }

int n,m;

inline void Get_mod () {
    for (m=1; (m<=2*n) ;m<<=1 );
    ll lcm =1ll* n*m /gcd (n,m);
    mod = lcm + 1;
    while ( mod < 1e5 )  mod += lcm;
    while (1) {
        int flag=true;
        for (int i=2;1ll*i*i<=mod;++i) if (mod%i==0) {flag=false;break;}
        if (flag) break;
        mod+=lcm;
    }
    for (g=2;;++g) {
        int flag=true;
        for (int i=2;1ll*i*i<=mod;++i) if ((mod-1)%i==0){
            if (powmod(g,i)==1) {flag=false;break;}
            if (powmod(g,(mod-1)/i)==1) {flag=false;break;}
        }
        if (flag) break;
    }
}

inline void Get_wn(){
    ll w0=powmod(g,(mod-1)/m);
    w[0][0]=w[1][0]=1;
    int i;
    for (i=1;i<m;++i) w[0][i]=Mult(w[0][i-1],w0);
    for (i=1;i<m;++i) w[1][i]=w[0][m-i];
    w0=powmod(g,(mod-1)/n);
    W[0][0]=W[1][0]=1;
    for (i=1;i<n;++i) W[0][i]=Mult(W[0][i-1],w0);
    for (i=1;i<n;++i) W[1][i]=W[0][n-i];
}

inline void NTT(ll *a,int n,int f) {
    register int i,j,k,l,t;
    for (i=j=0;i^n;++i) {
        if (i>j) std::swap(a[i],a[j]);
        for (k=n>>1;(j^=k)<k;k>>=1);
    }
    for (i=1;i<n;i<<=1) 
        for (j=0,t=n/(i<<1);j<n;j+=i<<1) 
            for (k=l=0;k<i;++k , l+=t ) {
                ll x=a[j+k],y=Mult(a[i+j+k],w[f][l]);
                a[j+k]=x+y;
                a[i+j+k]=x-y;
                if (a[j+k]>=mod) a[j+k]-=mod;
                if (a[i+j+k]<0) a[i+j+k]+=mod;
            }
    if (f ) {
        ll rev=powmod ( n,mod-2 );
        for (i=0;i<n;++i) a[i]=Mult(a[i],rev);
    }
}

ll Y[N];

inline void pre_Bluestein(int f) {
    int i;
    for (i=0;i<2*n;++i) Y[2*n-1-i]=W[f][1ll*i*(i-1)/2%n];
    for (i=2*n;i<m;++i) Y[i]=0;
    NTT(Y,m,0);
}

inline void Bluestein(ll *a,int f){
    static ll X[N];
    register int i;
    for (i=0;i<n;++i) X[i]=Mult(a[i],W[f][ (n-1ll*i*(i-1)/2%n)%n ]);
    for (i=n;i<m;++i) X[i]=0;
    NTT(X,m,0);
    for (i=0;i<m;++i) X[i]=Mult(X[i],Y[i]);
    NTT(X,m,1);
    for (i=0;i<n;++i)
        a[i]=Mult (X[2*n-1-i],W[f][(n-1ll*i*(i-1)/2%n)%n ]);
    if (f)  {
        ll rev=powmod(n,mod-2);
        for (i=0;i<n;++i) a[i]=Mult(a[i],rev);
    }
}

int b[N],c[N];
ll rev_b[N],delta_c[N],delta_a[N],a[N];

int main() {
    //freopen(".in","r",stdin);
    n = read();
    register int i;
    for (i=0;i<n;++i) b[i]=read();
    for (i=0;i<n;++i) c[i]=read();
    Get_mod();
    Get_wn();
    for (i=0;i<n;++i) rev_b[i]=b[i];
    std::reverse(rev_b+1,rev_b+n);
    ll inv_2=powmod(mod-2,mod-2);
    for (i=0;i<n;++i) delta_c[i]=Mult ( ( c[(i+1)%n]-c[i] + mod )%mod , inv_2 );
    pre_Bluestein(0);
    Bluestein(rev_b,0);
    Bluestein(delta_c,0);
    for (i=0;i<n;++i) delta_a[i]=Mult ( delta_c[i] , powmod (rev_b[i],mod-2) );
    pre_Bluestein(1);
    Bluestein(delta_a,1);
    for (i=0;i<n;++i) {
        ll v=(delta_a[i]<mod-delta_a[i])?delta_a[i]:delta_a[i]-mod;
        if (abs(v)>20000) return puts("0"),0;
        a[i]=v;
    }
    ll _c=-c[0],_a=0,_b=0,sum=0;
    for (i=0;i<n;++i) {
        ++_a;
        _b+=2*(sum-b[i]);
        _c+=(sum-b[i])*(sum-b[i]);
        sum+=a[i];
    }
    if (sum!=0) {
        puts("0");
        return 0;
    }
    std::set<ll> ans;
    if (_b*_b-4*_a*_c>=0){
        ll s=ll(sqrt(_b*_b-4*_a*_c) + 0.5);
        if (s*s!=_b*_b-4*_a*_c) return puts("0"),0;
        if ((-_b+s)%(2*_a)==0) ans.insert((-_b+s)/(2*_a));
        if ((-_b-s)%(2*_a)==0) ans.insert((-_b-s)/(2*_a));
    }
    std::set<ll>::iterator it;
    printf("%d\n",ans.size());
    for (it=ans.begin();it!=ans.end();++it) {
        ll now=*it;
        for (i=0;i<n;++i){
            printf("%lld ",now);
            now+=a[i];
        }
        puts("");
    }
}