第四章 快速排序
1 分而治之（divided and conquer,D＆C）
第一個🌰：如何將一塊地均勻地分成方塊，並確保分出的方塊是最大的呢？
使用D&C策略（並非解決問題的算法，而是一種解決問題的思路）！D&C解決問題的兩個步驟：
①找出基線條件，盡可能的簡單
②不斷講問題分界，或者說縮小規模，使其滿足基線條件
首先基線條件：一個條邊的長度是另一條邊的兩倍。50m*25m
再找遞歸條件，這就要用到D＆C策略了，先找出可容納的最大方塊，對余下方塊使用同樣的算法。
你可以從這塊地中划出兩個640 m×640 m的方塊，同時余下一小塊地640m*400m，適用於這小塊地的最大方塊，也是適用於整塊地的最大方塊（涉及歐幾里得算法）。對這塊地實用同樣的辦法，變成400m*240m,然后變為240m*160m,最后變為160m*80,達到了基線條件。
第二個🌰：給定一個數字數組。
需要加總並返回
用循環很容易完成：
def sum(arr): total = 0 for x in arr: total += x return total print(sum([1, 2, 3, 4]))
遞歸如何處理？
①找出基線條件：如果數組中只有一個數或者沒有數，那么加總很好算
②每次遞歸調用都必須離空數組更近一步。
與
兩者之間是等效的，但是右邊的數組更短，縮小了問題的規模。
sum()函數的遞歸運行過程：
提示：編寫涉及數組的遞歸函數時，基線條件通常是數組為空或只包含一個元素。陷入困境時，請檢查基線條件是不是這樣的。
練習
4.1 請編寫前述 sum 函數的代碼。
def sum(list): if list == []: return 0 return list[0] + sum(list[1:]) print(sum([1,2,3,4,5,6,7]))
4.2 編寫一個遞歸函數來計算列表包含的元素數。
def sum(list): if list == []: return 0 return list[0] + sum(list[1:]) print(sum([1,2,3,4,5,6,7]))
4.3 找出列表中最大的數字。
def max(list): if len(list) == 2: return list[0] if list[0] > list[1] else list[1] sub_max = max(list[1:]) #這里如果list很大，棧的空間就會很大，因為max()函數一直在運行，只到list被切分成長度為2 return list[0] if list[0] > sub_max else sub_max print(max([1,2,3,4,5,6,7,8,9]))
4.4 還記得第1章介紹的二分查找嗎？它也是一種分而治之算法。你能找出二分查找算法的基線條件和遞歸條件嗎？
基線條件：數組只包含一個元素。
遞歸條件：把數組分成兩半，將其中一半丟棄，並對另一半執行二分查找。
2 快速排序
基線條件：數組為空或者只有一個元素，這樣就不需要排序了
兩個元素的數組進行元素比較即可。三個元素呢？
使用D＆C，將數組分解，直到滿足基線條件。
快速排序的工作原理：
①從數組中選擇一個元素，這個元素被稱為基准值（pivot）
②找出比基准值小的元素以及比基准值大的元素，這被稱為分區（partitioning），數組變為：
一個由所有小於基准值的數字組成的數組；基准值；一個由所有大於基准值的數組組成的子數組。
現在要對子數組進行排序，對於包含兩個元素的數組（左邊的子數組）以及空數組（右邊的子數組），快速排序知道如何將它們排序，因此只要對這兩個子數組進行快速排序，再合並結果，就能得到一個有序數組！
對三個元素的數組進行排序：
①選擇基准值。
②將數組分成兩個子數組：小於基准值的元素和大於基准值的元素。
③對這兩個子數組進行快速排序。
包含四個元素呢？同樣的做法，找出一個基准值，如果一個子數組有三個元素，對三個元素遞歸調用快速排序。那么五個元素同樣也可以。
代碼表示：
def quicksort(array): if len(array) < 2: return array else: pivot = array[0] #將數組的第一個元素定為基准線 less = [i for i in array[1:] if i <= pivot] #遍歷數組剩下元素，如果小於它，放入less列表 greater = [i for i in array[1:] if i > pivot] #遍歷數組剩下元素，如果大於它，放入greater列表 return quicksort(less) + [pivot] + quicksort(greater) #對less和greater遞歸，最后返回排序數組 print quicksort([10, 5, 2, 3])
3 再談大O表示法
快速排序的情況比較棘手，在最糟情況下，其運行時間為O(n 2 )。
與選擇排序一樣慢！但這是最糟情況。在平均情況下，快速排序的運行時間為O(n log n)。
比較合並排序和快速排序：
有時候，常量的影響可能很大，對快速查找和合並查找來說就是如此。快速查找的常量比合並查找小，因此如果它們的運行時間都為O(n log n)，快速查找的速度將更快。實際上，快速查找的速度確實更快，因為相對於遇上最糟情況，它遇上平均情況的可能性要大得多。
4 平均情況和最糟情況
快速排序的性能高度依賴你選擇的基准值。假設你總將第一個元素用作基准值，那么棧長為O(n)，如果你總將中間的元素用作基准值，那么棧長為O(log n)。
實際上，在調用棧的每層都涉及O(n)個元素。
因此，完成每層所需的時間都是O(n)
在第二張圖中，層數為O(log n)（用技術術語說，調用棧的高度為O(log n)），每層需要的時間為O(n)。因此整個算法需要的時間為O(n) * O(log n) = O(n log n)。這就是最佳情況。在最糟情況下，有O(n)層，因此該算法的運行時間為O(n) * O(n) = O(n **2 )。
這里要告訴你的是，最佳情況也是平均情況。只要你每次都隨機地選擇一個數組元素作為基准值，快速排序的平均運行時間就將為O(n log n)。
練習
使用大O表示法時，下面各種操作都需要多長時間？
4.5 打印數組中每個元素的值。O(n)
4.6 將數組中每個元素的值都乘以2。O(n)
4.7 只將數組中第一個元素的值乘以2。O(1)
4.8 根據數組包含的元素創建一個乘法表，即如果數組為[2, 3, 7, 8, 10]，首先將每個元素都乘以2，再將每個元素都乘以3，然后將每個元素都乘以7，以此類推。O(n**2 )。
5 小結
D&C將問題逐步分解。使用D&C處理列表時，基線條件很可能是空數組或只包含一個元素的數組。
實現快速排序時，請隨機地選擇用作基准值的元素。快速排序的平均運行時間為O(n log n)。
大O表示法中的常量有時候事關重大，這就是快速排序比合並排序快的原因所在。
比較簡單查找和二分查找時，常量幾乎無關緊要，因為列表很長時，O(log n)的速度比O(n)快得多。