【圖解數據結構】 樹

目錄

• 樹的定義
• 樹的結點
• 樹的存儲結構

開頭說點題外話，在帥張星球上看到一個提問（下圖），覺得帥張回答的很中肯很在理。論一個男生上進心的重要性，不上進找不到女朋友啊，當然了不要以為上進了就能找到女朋友！管他什么女朋友，我的心里只有學習！繼續我們的數據結構學習之旅，這一次我們學習的是樹。

樹的定義

樹（Tree）是n(n>=0)個結點的有限集。n=0時稱為空樹。

在任意一顆非空樹中：

(1)有且僅有一個特定的稱為根（Root）的結點。

(2)當n>1時，其余結點可分為m(m>0)個互不相交的有限集T1、T2、.....、Tm,其中每一個集合本身又是一棵樹，並且稱為根的子樹（SubTree）。

下圖就符合樹的定義：

其中根結點A有兩個子樹：

需要注意的是雖然子樹的個數沒有限制，但是它們一定是互不交互的。下面的圖明顯不符合互不交互的原則，所以不是樹。

樹的結點

樹的結點包含一個數據元素及若干指向其子樹的分支。結點擁有的子樹數稱為結點的度（Degree）。樹的度是樹內各結點度的最大值。

結點的層次從根開始定義起，根為第一層，根的孩子為第二層，以此類推。樹的深度（Depth）或高度是樹中結點的最大層次。

樹的存儲結構

二叉樹

二叉樹的定義

二叉樹（Binary Tree）是n(n>=0)個結點的有限集合，該集合或者為空集（空二叉樹），或者由一個根結點和兩棵互不相交的、分別稱為根結點的左子樹和右子樹的二叉樹組成（子樹也為二叉樹）。

二叉樹的特點

• 每個結點最多有兩棵子樹，所以二叉樹中不存在度大於2的結點。
• 左子樹和右子樹是有順序的，次序不能任意顛倒。
• 即使樹中某結點只有一棵子樹，也要區分它是左子樹還是右子樹。

二叉樹五種基本形態

1. 空二叉樹
2. 只有一個根結點
3. 根結點只有左子樹
4. 根結點只有右子樹
5. 根結點既有左子樹又有右子樹

幾種特殊的二叉樹

斜樹

左斜樹：右斜樹：

滿二叉樹

滿二叉樹：

完全二叉樹

完全二叉樹：

二叉樹的性質

二叉樹性質1

性質1：在二叉樹的第i層上至多有2^i-1個結點（i>=1）

二叉樹性質2

性質2：深度為k的二叉樹至多有2^k-1個結點（k>=1）

二叉樹性質3

性質3：對任何一棵二叉樹T，如果其終端結點數為n₀,度為2的結點數為n₂，則n₀ = n₂+1。

一棵二叉樹，除了終端結點（葉子結點），就是度為1或2的結點。假設n₁度為1的結點數，則數T 的結點總數n=n₀+n₁+n₂。我們再換個角度，看一下樹T的連接線數，由於根結點只有分支出去，沒有分支進入，所以連接線數為結點總數減去1。也就是n-1=n₁+2n₂，可推導出n₀+n₁+n₂-1 = n₁+2n₂，繼續推導可得n₀ = n₂+1。

二叉樹性質4

性質4：具有n個結點的完全二叉樹的深度為[log₂n ] + 1([X]表示不大於X的最大整數)。

由性質2可知，滿二叉樹的結點個數為2^k-1，可以推導出滿二叉樹的深度為k=log₂(n + 1)。對於完全二叉樹，它的葉子結點只會出現在最下面的兩層，所以它的結點數一定少於等於同樣深度的滿二叉樹的結點數2^k-1，但是一定多於2^k-1 -1。因為n是整數，所以2^k-1 <= n < 2^k，不等式兩邊取對數得到：k-1 <= log₂n <k。因為k作為深度也是整數，因此 k= [log₂n ]+ 1。

二叉樹性質5

性質5：如果對一顆有n個結點的完全二叉樹（其深度為[log₂n ] + 1）的結點按層序編號（從第1層到第[log₂n ] + 1層，每層從左到右），對任一結點i(1<=i<=n)有：

1. 如果i=1，則結點i是二叉樹的根，無雙親；如果i>1，則其雙親是結點[i/2]。

2. 如果2i>n,則結點i無左孩子（結點i為葉子結點）；否則其左孩子是結點i。

3. 如果2i+1>n,則結點i無右孩子；否則其右孩子是結點2i+1。

結合下圖很好理解：

二叉樹的存儲結構

二叉樹順序存儲結構

^代表不存在的結點。

對於右斜樹，順序存儲結構浪費存儲空間：

二叉樹的順序存儲結構缺點很明顯：不能反應邏輯關系；對於特殊的二叉樹（左斜樹、右斜樹），浪費存儲空間。所以二叉樹順序存儲結構一般只用於完全二叉樹。

二叉鏈表

鏈表每個結點包含一個數據域和兩個指針域：

其中data是數據域，lchild和rchild都是指針域，分別指向左孩子和右孩子。

二叉樹的二叉鏈表結點結構定義:

/*二叉樹的二叉鏈表結點結構定義*/
typedef struct BiNode
{
	char data;		/*結點數據*/
	struct BiNode *lchild, *rchild;		/*左右孩子指針*/
}BiNode,*BiTree;

參考：《大話數據結構》

作者： 喜歡天黑卻怕鬼

來源： http://songwenjie.cnblogs.com/

聲明：本文為博主學習感悟總結，水平有限，如果不當，歡迎指正。如果您認為還不錯，不妨點擊一下下方的 【推薦】按鈕，謝謝支持。轉載與引用請注明出處。