遞歸、迭代和分治法

一、遞歸算法：直接或間接地調用自身的算法。

1、使用遞歸要注意的有兩點:

• 遞歸就是在過程或函數里面調用自身;
• 在使用遞歸時,必須有一個明確的遞歸結束條件,稱為遞歸出口.

2、遞歸分為兩個階段:

• 遞推:把復雜的問題的求解推到比原問題簡單一些的問題的求解;
• 回歸:當獲得最簡單的情況后,逐步返回,依次得到復雜的解.

利用遞歸可以解決很多問題:如背包問題,漢諾塔問題,...等.

3、優缺點

• 優點：結構清晰，可讀性強，且容易用數學歸納法證明算法的正確性。
• 缺點：(1) 遞歸算法需要調用遞歸棧存放函數的變量、計算結果等直至return后才會釋放該棧，所以消耗內存空間；

　　　　　　(2) 可能存在重復計算相同的子問題。

二、分治法：將一個規模為n的問題分解為k個規模較小的子問題，這些子問題相互獨立且與原問題相同，然后遞歸地解這些子問題，

　　　　　　最后將各個子問題的解合並得到原問題的接。

應用：二分搜索、大整數乘法。

三、迭代:利用變量的原值推算出變量的一個新值。

四、遞歸和迭代的區別：

通過斐波那契數列為例：

　　　　　 F(0)=1;　　n = 0　　　　

F(n) = 　　F(1)=1;　　n = 1

　　　　 　F(n)=F(n-1)+F(n-2);　　n > 1

//遞歸實現
int fib(int n){
     if(n>1) return fib(n-1) + fib(n-2);
     else return 1; // n = 0, 1時給出recursion終止條件
}
//迭代實現
int fib(int n){
    int i, temp0, temp1, temp2;      
    if(n<=1) return 1;
    temp1 = 0;
    temp2 = 1;
    for(i = 2; i <= n; i++){
        temp0 = temp1 + temp2;
        temp2 = temp1;
        temp1 = temp0;
    }
    return temp0;
}