(1)高斯-克呂格投影性質
高斯-克呂格(Gauss-Kruger)投影簡稱“高斯投影”,又名"等角橫切橢圓柱投影”,地球橢球面和平面間正形投影的一種。德國數學家、物理學家、天文學家高斯(Carl FriedrichGauss,1777一 1855)於十九世紀二十年代擬定,后經德國大地測量學家克呂格(Johannes Kruger,1857~1928)於 1912年對投影公式加以補充,故名。該投影按照投影帶中央子午線投影為直線且長度不變和赤道投影為直線的條件,確定函數的形式,從而得到高斯一克呂格投影公式。投影后,除中央子午線和赤道為直線外, 其他子午線均為對稱於中央子午線的曲線。設想用一個橢圓柱橫切於橢球面上投影帶的中央子午線,按上述投影條件,將中央子午線兩側一定經差范圍內的橢球面正形投影於橢圓柱面。將橢圓柱面沿過南北極的母線剪開展平,即為高斯投影平面。取中央子午線與赤道交點的投影為原點,中央子午線的投影為縱坐標x軸,赤道的投影為橫坐標y軸,構成高斯克呂格平面直角坐標系。
高斯-克呂格投影在長度和面積上變形很小,中央經線無變形,自中央經線向投影帶邊緣,變形逐漸增加,變形最大之處在投影帶內赤道的兩端。由於其投影精度高,變形小,而且計算簡便(各投影帶坐標一致,只要算出一個帶的數據,其他各帶都能應用),因此在大比例尺地形圖中應用,可以滿足軍事上各種需要,能在圖上進行精確的量測計算。
(2)高斯-克呂格投影分帶
按一定經差將地球橢球面划分成若干投影帶,這是高斯投影中限制長度變形的最有效方法。分帶時既要控制長度變形使其不大於測圖誤差,又要使帶數不致過多以減少換帶計算工作,據此原則將地球橢球面沿子午線划分成經差相等的瓜瓣形地帶,以便分帶投影。通常按經差6度或3度分為六度帶或三度帶。六度帶自0度子午線起每隔經差6度自西向東分帶,帶號依次編為第 1、2…60帶。三度帶是在六度帶的基礎上分成的,它的中央子午線與六度帶的中央子午線和分帶子午線重合,即自 1.5度子午線起每隔經差3度自西向東分帶,帶號依次編為三度帶第 1、2…120帶。我國的經度范圍西起 73°東至135°,可分成六度帶十一個,各帶中央經線依次為75°、81°、87°、……、117°、123°、129°、135°,或三度帶二十二個。六度帶可用於中小比例尺(如 1:250000)測圖,三度帶可用於大比例尺(如 1:10000)測圖,城建坐標多采用三度帶的高斯投影。
(3)高斯-克呂格投影坐標
高斯- 克呂格投影是按分帶方法各自進行投影,故各帶坐標成獨立系統。以中央經線投影為縱軸(x), 赤道投影為橫軸(y),兩軸交點即為各帶的坐標原點。縱坐標以赤道為零起算,赤道以北為正,以南為負。我國位於北半球,縱坐標均為正值。橫坐標如以中央經線為零起算,中央經線以東為正,以西為負,橫坐標出現負值,使用不便,故規定將坐標縱軸西移500公里當作起始軸,凡是帶內的橫坐標值均加 500公里。由於高斯-克呂格投影每一個投影帶的坐標都是對本帶坐標原點的相對值,所以各帶的坐標完全相同,為了區別某一坐標系統屬於哪一帶,在橫軸坐標前加上帶號,如(4231898m,21655933m),其中21即為帶號。
選擇投影的目的在於使所選投影的性質、特點適合於地圖的用途,同時考慮地圖在圖廓范圍內變形較小而且變形分布均勻。海域使用的地圖多采用保角投影,因其能保持方位角度的正確。
我國的基本比例尺地形圖(1:5千,1:1萬,1:2.5萬,1:5萬,1:10萬,1:25萬,1:50萬,1:100萬)中,大於等於50萬的均采用高斯-克呂格投影(Gauss-Kruger),這是一個等角橫切橢圓柱投影,又叫橫軸墨卡托投影(Transverse Mercator);小於50萬的地形圖采用等角正軸割園錐投影,又叫蘭勃特投影(Lambert Conformal Conic);海上小於50萬的地形圖多用等角正軸圓柱投影,又叫墨卡托投影(Mercator)。一般應該采用與我國基本比例尺地形圖系列一致的地圖投影系統。
地圖坐標系由大地基准面和地圖投影確定,大地基准面是利用特定橢球體對特定地區地球表面的逼近,因此每個國家或地區均有各自的大地基准面,我們通常稱謂的北京54坐標系、西安80坐標系實際上指的是我國的兩個大地基准面。我國參照前蘇聯從1953年起采用克拉索夫斯基(Krassovsky)橢球體建立了我國的北京54坐標系,1978年采用國際大地測量協會推薦的IAG 75地球橢球體建立了我國新的大地坐標系--西安80坐標系, 目前GPS定位所得出的結果都屬於WGS84坐標系統,WGS84基准面采用WGS84橢球體,它是一地心坐標系,即以地心作為橢球體中心的坐標系。因此相對同一地理位置,不同的大地基准面,它們的經緯度坐標是有差異的。
采用的3個橢球體參數如下(源自“全球定位系統測量規范 GB/T 18314-2001”):
橢球體 | 長半軸 | 短半軸 |
Krassovsky | 6378245 | 6356863.0188 |
IAG 75 | 6378140 | 6356755.2882 |
WGS 84 | 6378137 | 6356752.3142 |
橢球體與大地基准面之間的關系是一對多的關系,也就是基准面是在橢球體基礎上建立的,但橢球體不能代表基准面,同樣的橢球體能定義不同的基准面,如前蘇聯的Pulkovo 1942、非洲索馬里的Afgooye基准面都采用了Krassovsky橢球體,但它們的大地基准面顯然是不同的。在目前的GIS商用軟件中,大地基准面都通過當地基准面向WGS84的轉換7參數來定義,即三個平移參數ΔX、ΔY、ΔZ表示兩坐標原點的平移值;三個旋轉參數εx、εy、εz表示當地坐標系旋轉至與地心坐標系平行時,分別繞Xt、Yt、Zt的旋轉角;最后是比例校正因子,用於調整橢球大小。北京54、西安80相對WGS84的轉換參數至今沒有公開,實際工作中可利用工作區內已知的北京54或西安80坐標控制點進行與WGS84坐標值的轉換,在只有一個已知控制點的情況下(往往如此),用已知點的北京54與WGS84坐標之差作為平移參數,當工作區范圍不大時,如青島市,精度也足夠了。
以(32°,121°)的高斯-克呂格投影結果為例,北京54及WGS84基准面,兩者投影結果在南北方向差距約63米(見下表),對於幾十或幾百萬的地圖來說,這一誤差無足輕重,但在工程地圖中還是應該加以考慮的。
輸入坐標(度) | 北京54 高斯投影(米) |
WGS84 高斯投影(米) | |
緯度值(X) | 32 | 3543664 | 3543601 |
經度值(Y) | 121 | 21310994 | 21310997 |