轉載自https://blog.csdn.net/login_sonata/article/details/75268075
一，b樹
b樹（balance tree）和b+樹應用在數據庫索引，可以認為是m叉的多路平衡查找樹，但是從理論上講，二叉樹查找速度和比較次數都是最小的，為什么不用二叉樹呢？
因為我們要考慮磁盤IO的影響，它相對於內存來說是很慢的。數據庫索引是存儲在磁盤上的，當數據量大時，就不能把整個索引全部加載到內存了，只能逐一加載每一個磁盤頁（對應索引樹的節點）。所以我們要減少IO次數，對於樹來說，IO次數就是樹的高度，而“矮胖”就是b樹的特征之一，它的每個節點最多包含m個孩子，m稱為b樹的階，m的大小取決於磁盤頁的大小。
█一個M階的b樹具有如下幾個特征：
- 定義任意非葉子結點最多只有M個兒子，且M>2；
- 根結點的兒子數為[2, M]；
- 除根結點以外的非葉子結點的兒子數為[M/2, M]，向上取整；
- 非葉子結點的關鍵字個數=兒子數-1；
- 所有葉子結點位於同一層；
- k個關鍵字把節點拆成k+1段，分別指向k+1個兒子，同時滿足查找樹的大小關系。
█有關b樹的一些特性，注意與后面的b+樹區分：
- 關鍵字集合分布在整顆樹中；
- 任何一個關鍵字出現且只出現在一個結點中；
- 搜索有可能在非葉子結點結束；
- 其搜索性能等價於在關鍵字全集內做一次二分查找；
█如圖是一個3階b樹，順便講一下查詢元素5的過程： 
1，第一次磁盤IO，把9所在節點讀到內存，把目標數5和9比較，小，找小於9對應的節點；
2，第二次磁盤IO，還是讀節點到內存，在內存中把5依次和2、6比較，定位到2、6中間區域對應的節點；
3，第三次磁盤IO就不上圖了，跟第二步一樣，然后就找到了目標5。
可以看到，b樹在查詢時的比較次數並不比二叉樹少，尤其是節點中的數非常多時，但是內存的比較速度非常快，耗時可以忽略，所以只要樹的高度低，IO少，就可以提高查詢性能，這是b樹的優勢之一。
█b樹的插入刪除元素操作：
比如我們要在下圖中插入元素4： 
1，首先自頂向下查詢找到4應該在的位置，即3、5之間；
2，但是3階b樹的節點最多只能有2個元素，所以把3、4、5里面的中間元素4上移（中間元素上移是插入操作的關鍵）；
3，上一層節點加入4之后也超載了，繼續中間元素上移的操作，現在根節點變成了4、9；
4，還要滿足查找樹的性質，所以對元素進行調整以滿足大小關系，始終維持多路平衡也是b樹的優勢，最后變成這樣： 
再比如我們要刪除元素11：
1，自頂向下查詢到11，刪掉它；
2，然后不滿足b樹的條件了，因為元素12所在的節點只有一個孩子了，所以我們要“左旋”，元素12下來，元素13上去： 
這時如果再刪除15呢？很簡單，當元素個數太少以至於不能再旋轉時，12直接上去就行了。
二，b+樹
b+樹，是b樹的一種變體，查詢性能更好。m階的b+樹的特征：
- 有n棵子樹的非葉子結點中含有n個關鍵字（b樹是n-1個），這些關鍵字不保存數據，只用來索引，所有數據都保存在葉子節點（b樹是每個關鍵字都保存數據）。
- 所有的葉子結點中包含了全部關鍵字的信息，及指向含這些關鍵字記錄的指針，且葉子結點本身依關鍵字的大小自小而大順序鏈接。
- 所有的非葉子結點可以看成是索引部分，結點中僅含其子樹中的最大（或最小）關鍵字。
- 通常在b+樹上有兩個頭指針，一個指向根結點，一個指向關鍵字最小的葉子結點。
- 同一個數字會在不同節點中重復出現，根節點的最大元素就是b+樹的最大元素。
█b+樹相比於b樹的查詢優勢：
- b+樹的中間節點不保存數據，所以磁盤頁能容納更多節點元素，更“矮胖”；
- b+樹查詢必須查找到葉子節點，b樹只要匹配到即可不用管元素位置，因此b+樹查找更穩定（並不慢）；
- 對於范圍查找來說，b+樹只需遍歷葉子節點鏈表即可，b樹卻需要重復地中序遍歷，如下兩圖：
