矩陣
矩陣的概念：由m*n個aij（i=1,2,3,4...;j=1,2,3,4...)排成的有序列表。
可寫成：
或
。
當m=n時，稱矩陣A為n階方陣。其中，從左上到右下的對角線稱為主對角線，從右上到左下的對角線我們稱為次對角線。
矩陣的類型介紹：
單位矩陣：主對角線上全為1，其他位置全是0的方陣稱為單位矩陣，記為I或E。
負矩陣：對於矩陣Amxn=(aij)mxn，將矩陣A的各個元素都取相反數得到的矩陣稱為矩陣A的負矩陣。
上三角陣：
下三角陣：
對角方陣：既是上三角陣，又是下三角陣（即只有對角線不為0，其余部分均為0的矩陣）稱為對角方陣或對角矩陣。
數量矩陣：所有對角元aii均相等的矩陣稱為數量矩陣。對角元的和∑aii稱為方陣A的跡，記為trA。
零矩陣：所有元素全為0的矩陣稱為零矩陣。不同階數的零矩陣並不相等。
矩陣的運算：
加法：Amxn+Bmxn=（aij+bij）
減法：Amxn-Bmxn=（aij-bij）
數乘：k*A=（kaij）
交換律：A+B=B+A
結合律：（A+B）+C=A+（B+C）
零矩陣相關：A+0=A；A-A=0
1*A=A；0*A=0
結合率：（KI）A=K（IA）
分配率：（K+I）A=KA+IA；K（A+B）=KA+KB
乘法：若Cmxp=AmxnxBnxp，則有Cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j+...+aisbsj。
如：
。1x7+0x5+0x3+1x2+0x1=9.
*兩個矩陣相乘中：A的列數一定要與B的行數相等
由AB=0並不能推斷出其中一個矩陣為零矩陣；由AB=AC也不能推斷出B=C。
矩陣乘法運算律：
（AB）C=A（BC）
A（B+C）=AB+AC
（A+B）C=AC+AB
k（AB）=kAB=A（kB）
AI=IA=A
A0=0
若A是n階方陣，則有：ApAq=Apq；(Ap)q=Aqp
當AB=BA時，有：(AB)k=AkBk
矩陣的轉置：Amxn=（aij）mxn，則AmxnT=Bmxn（aji）mxn
轉置的運算：（AT）T=A
（A+B）T=AT+BT
（λA）T=λAT
（AB）T=BTAT；（ABC）T=CTBTAT
對稱矩陣：若A=AT，則稱A為對稱矩陣
斜對稱矩陣：若A=-AT，則稱A為斜對稱矩陣
可逆矩陣：若對於方陣A，有方陣B使得AB=BA=I，則稱A為可逆矩陣，矩陣B稱為矩陣A的逆，記為B=A-1
若A是可逆矩陣，則A的逆是唯一的。
若A、B可逆，則A-1，AB，AT，kA也是可逆的。
若A為可逆矩陣，等價於下面任一條件：
1、存在矩陣B使得AB=I
2、A的行向量組線性無關
3、存在矩陣B使得BA=I
4、A的列向量組線性無關
分塊矩陣一般將矩陣分為四塊，分塊矩陣的乘法與矩陣的乘法運算相同。
分塊矩陣的轉置：若A=
，則AT=
二階行列式：
二元一次方程組
的解為
。
可將其簡化記憶為：
其中：
，
，
。
則有x1=D1/D，x2=D2/D
二階行列式記為。其結果為主對角線減去次對角線的值。
三階行列式也遵循對角線原則，如圖：
。即
=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a31a22a13-a21a12a33-a23a32a11
對角矩陣的行列式等於對角線的乘積。
上三角矩陣行列式=下三角矩陣行列式=對角線乘積
行列式的性質：
1、單位矩陣的行列式等於1 ；
2、如果將行列式兩行（或列）互換，則行列式的值改變符號；
3、行列式一行（或一列）的公因子可以提到行列式的外面；
4、若某行為0，或者兩行相同或成比列，則行列式的值為0；
5、若行列式的某一行（或列）的元素都是兩個數之和，則這個行列式是對應兩個行列式的和；
6、detA=detAT,detA表示A的行列式。
7、det（AB）=detAdetB
8、det（A-1）=a/detA