B樹
為什么要B樹
磁盤中有兩個機械運動的部分，分別是盤片旋轉和磁臂移動。盤片旋轉就是我們市面上所提到的多少轉每分鍾，而磁盤移動則是在盤片旋轉到指定位置以后，移動磁臂后開始進行數據的讀寫。那么這就存在一個定位到磁盤中的塊的過程，而定位是磁盤的存取中花費時間比較大的一塊，畢竟機械運動花費的時候要遠遠大於電子運動的時間。當大規模數據存儲到磁盤中的時候，顯然定位是一個非常花費時間的過程，但是我們可以通過B樹進行優化，提高磁盤讀取時定位的效率。
為什么B類樹可以進行優化呢？我們可以根據B類樹的特點，構造一個多階的B類樹，然后在盡量多的在結點上存儲相關的信息，保證層數盡量的少，以便后面我們可以更快的找到信息，磁盤的I/O操作也少一些，而且B類樹是平衡樹，每個結點到葉子結點的高度都是相同，這也保證了每個查詢是穩定的。
簡介
這里的B樹，也就是英文中的B-Tree，一個 m 階的B樹滿足以下條件：
- 每個結點至多擁有m棵子樹；
- 根結點至少擁有兩顆子樹（存在子樹的情況下）；
- 除了根結點以外，其余每個分支結點至少擁有 m/2 棵子樹；
- 所有的葉結點都在同一層上；
- 有 k 棵子樹的分支結點則存在 k-1 個關鍵碼，關鍵碼按照遞增次序進行排列；
- 關鍵字數量需要滿足ceil(m/2)-1 <= n <= m-1；
B樹上大部分的操作所需要的磁盤存取次數和B樹的高度是成正比的，在B樹中可以檢查多個子結點，由於在一棵樹中檢查任意一個結點都需要一次磁盤訪問，所以B樹避免了大量的磁盤訪問。
操作
既然是樹，那么必不可少的操作就是插入和刪除，這也是B樹和其它數據結構不同的地方，當然了，還有必不可少的搜索，分享一個對B樹的操作進行可視化的網址，它是由usfca提供的。
插入
新結點一般插在第h層，通過搜索找到對應的結點進行插入，那么根據即將插入的結點的數量又分為下面幾種情況。
- 如果該結點的關鍵字個數沒有到達m-1個，那么直接插入即可；
- 如果該結點的關鍵字個數已經到達了m-1個，那么根據B樹的性質顯然無法滿足，需要將其進行分裂。分裂的規則是該結點分成兩半，將中間的關鍵字進行提升，加入到父親結點中，但是這又可能存在父親結點也滿員的情況，則不得不向上進行回溯，甚至是要對根結點進行分裂，那么整棵樹都加了一層。
刪除
同樣的，我們需要先通過搜索找到相應的值，存在則進行刪除，需要考慮刪除以后的情況，
- 如果該結點擁有關鍵字數量仍然滿足B樹性質，則不做任何處理；
- 如果該結點在刪除關鍵字以后不滿足B樹的性質（關鍵字沒有到達ceil(m/2)-1的數量），則需要向兄弟結點借關鍵字，這有分為兄弟結點的關鍵字數量是否足夠的情況。
- 其余情況參照BST中的刪除。
B+樹
為什么要B+樹
由於B+樹的數據都存儲在葉子結點中，分支結點均為索引，方便掃庫，只需要掃一遍葉子結點即可，但是B樹因為其分支結點同樣存儲着數據，我們要找到具體的數據，需要進行一次中序遍歷按序來掃，所以B+樹更加適合在區間查詢的情況，所以通常B+樹用於數據庫索引，而B樹則常用於文件索引。(為什么B+樹更適合做數據庫索引)
簡介
- 根結點只有一個，分支數量范圍為[2，m]；
- 分支結點，每個結點包含分支數范圍為[ceil(m/2), m]；
- 分支結點的關鍵字數量等於其子分支的數量減一，關鍵字的數量范圍為[ceil(m/2)-1, m-1]，關鍵字順序遞增；
- 所有葉子結點都在同一層；
B+樹和二叉樹、平衡二叉樹一樣，都是經典的數據結構。B+樹由B樹和索引順序訪問方法（ISAM，是不是很熟悉？對，這也是MyISAM引擎最初參考的數據結構）演化而來，但是在實際使用過程中幾乎已經沒有使用B樹的情況了。
B+樹的定義十分復雜，因此只簡要地介紹B+樹：B+樹是為磁盤或其他直接存取輔助設備而設計的一種平衡查找樹，在B+樹中，所有記錄節點都是按鍵值的大小順序存放在同一層的葉節點中，各葉節點指針進行連接。
我們先來看一個B+樹，其高度為2，每頁可存放4條記錄，扇出（fan out）為5。
可以看出，所有記錄都在葉節點中，並且是順序存放的，如果我們從最左邊的葉節點開始順序遍歷，可以得到所有鍵值的順序排序：5、10、15、20、25、30、50、55、60、65、75、80、85、90。
B+樹的插入操作
B+樹的插入必須保證插入后葉節點中的記錄依然排序，同時需要考慮插入B+樹的三種情況，每種情況都可能會導致不同的插入算法，如表5-1所示。
我們用實例來分析B+樹的插入，我們插入28這個鍵值，發現當前Leaf Page和Index Page都沒有滿，我們直接插入就可以了。
這次我們再插入一條70這個鍵值，這時原先的Leaf Page已經滿了，但是Index Page還沒有滿，符合表5-1的第二種情況，這時插入Leaf Page后的情況為50、55、60、65、70。我們根據中間的值60拆分葉節點。
因為圖片顯示的關系，這次我沒有能在各葉節點加上雙向鏈表指針。最后我們來插入記錄95，這時符合表5-1討論的第三種情況，即Leaf Page和Index Page都滿了，這時需要做兩次拆分。
可以看到，不管怎么變化，B+樹總是會保持平衡。但是為了保持平衡，對於新插入的鍵值可能需要做大量的拆分頁（split）操作，而B+樹主要用於磁盤，因此頁的拆分意味着磁盤的操作，應該在可能的情況下盡量減少頁的拆分。因此，B+樹提供了旋轉（rotation）的功能。
旋轉發生在Leaf Page已經滿了、但是其左右兄弟節點沒有滿的情況下。這時B+樹並不會急於去做拆分頁的操作，而是將記錄移到所在頁的兄弟節點上。通常情況下，左兄弟被首先檢查用來做旋轉操作，這時我們插入鍵值70，其實B+樹並不會急於去拆分葉節點，而是做旋轉，50，55，55旋轉。
可以看到，采用旋轉操作使B+樹減少了一次頁的拆分操作，而這時B+樹的高度依然還是2。
B+樹的刪除操作
B+樹使用填充因子（fill factor）來控制樹的刪除變化，50%是填充因子可設的最小值。B+樹的刪除操作同樣必須保證刪除后葉節點中的記錄依然排序，同插入一樣，B+樹的刪除操作同樣需要考慮如表5-2所示的三種情況，與插入不同的是，刪除根據填充因子的變化來衡量。
首先，刪除鍵值為70的這條記錄，該記錄符合表5-2討論的第一種情況，刪除后。
接着我們刪除鍵值為25的記錄，這也是表5-2討論的第一種情況，但是該值還是Index Page中的值，因此在刪除Leaf Page中25的值后，還應將25的右兄弟節點的28更新到Page Index中，最后可得到圖。
最后我們來看刪除鍵值為60的情況，刪除Leaf Page中鍵值為60的記錄后，填充因子小於50%，這時需要做合並操作，同樣，在刪除Index Page中相關記錄后需要做Index Page的合並操作，最后得到圖。
