數據結構與算法之PHP排序算法（歸並排序）

一、基本思想

歸並排序算法是將兩個（或兩個以上）有序表合並成一個新的有序表，即把待排序序列分為若干個子序列，使每個子序列有序，再將已有序的子序列合並，得到完全有序的序列。該算法是采用分治法（Divide and Conquer）的一個非常典型的應用。

 

二、算法過程

歸並主要做兩件事：

1）“分解”——將序列每次折半划分。

2）“合並”——將划分后的序列段兩兩合並后排序。

 

三、算法圖解及PHP代碼實現

1、遞歸——自頂向下

遞歸過程是將待排序數組一分為二，直至排序數組就剩下一個元素為止，然后不斷的合並兩個排好序的數組

其中，合並過程如下（以第2趟歸並為例）：

PHP代碼如下：

<?php
// 遞歸
function mergeSort(&$arr, $left, $right) {
    if ($left < $right) {
        // 找出中間索引
        $mid = floor(($left + $right) / 2);
        // 對左邊數組進行遞歸
        mergeSort($arr, $left, $mid);
        // 對右邊數組進行遞歸
        mergeSort($arr, $mid + 1, $right);
        // 合並
        merge($arr, $left, $mid, $right);
    }
}
 
// 將兩個有序數組合並成一個有序數組
function merge(&$arr, $left, $mid, $right) {
    $i = $left;     // 左數組的下標
    $j = $mid + 1;  // 右數組的下標
    $temp = array();// 臨時合並數組
    // 掃描第一段和第二段序列，直到有一個掃描結束
    while ($i <= $mid && $j <= $right) {
        // 判斷第一段和第二段取出的數哪個更小，將其存入合並序列，並繼續向下掃描
        if ($arr[$i] < $arr[$j]) {
            $temp[] = $arr[$i];
            $i++;
        } else {
            $temp[] = $arr[$j];
            $j++;
        }
    }
    // 比完之后，假如左數組仍有剩余，則直接全部復制到 temp 數組
    while ($i <= $mid) {
        $temp[] = $arr[$i];
        $i++;
    }
    // 比完之后，假如右數組仍有剩余，則直接全部復制到 temp 數組
    while ($j <= $right) {
        $temp[] = $arr[$j];
        $j++;
    }
    // 將合並序列復制到原始序列中
    for($k = 0; $k < count($temp); $k++) {
        $arr[$left + $k] = $temp[$k];
    }
}
 
// 測試
$arr = [85, 24, 63, 45, 17, 31, 96];
mergeSort($arr, 0, count($arr) - 1);
print_r($arr);

2、非遞歸——自底向上

非遞歸過程是將待排序數組看成n個長度為1的子序列，數組中的相鄰元素兩兩配對，將他它們排序后，構成n/2組長度為2的排序好的子數組段，然后再將他們排序成長度為4的子數組段，如此繼續下去，直至整個數組排好序。

不管遞歸還是非遞歸，其合並的邏輯都是一樣的。

 

PHP代碼如下：

<?php
//非遞歸
function mSort(&$arr) {
    $len = count($arr);
    $size = 1;
    while ($size <= $len - 1) {
        // 從第一個元素開始掃描，left 代表第一個分割的序列的第一個元素
        $left = 0;
        while ($left + $size <= $len - 1) {
            // mid 代表第一個分割的序列的最后一個元素
            $mid = $left + $size - 1;
            //right 代表第二個分割的序列的最后一個元素
            $right = $mid + $size;
            if ($right > $len - 1) { // 如果第二個序列個數不足size個
                //調整 right 為最后一個元素的下標即可
                $right = $len - 1;
            }
            // 調用歸並函數，進行分割的序列的分段排序
            merge($arr, $left, $mid, $right);
            $left = $right + 1;
        }
        $size *= 2; // 范圍擴大一倍
    }
}
 
// 將兩個有序數組合並成一個有序數組
function merge(&$arr, $left, $mid, $right) {
    $i = $left;     // 左數組的下標
    $j = $mid + 1;  // 右數組的下標
    $temp = array();// 臨時合並數組
    // 掃描第一段和第二段序列，直到有一個掃描結束
    while ($i <= $mid && $j <= $right) {
        // 判斷第一段和第二段取出的數哪個更小，將其存入合並序列，並繼續向下掃描
        if ($arr[$i] < $arr[$j]) {
            $temp[] = $arr[$i];
            $i++;
        } else {
            $temp[] = $arr[$j];
            $j++;
        }
    }
    // 比完之后，假如左數組仍有剩余，則直接全部復制到 temp 數組
    while ($i <= $mid) {
        $temp[] = $arr[$i];
        $i++;
    }
    // 比完之后，假如右數組仍有剩余，則直接全部復制到 temp 數組
    while ($j <= $right) {
        $temp[] = $arr[$j];
        $j++;
    }
    // 將合並序列復制到原始序列中
    /*for($k = 0; $k < count($temp); $k++) {
        $arr[$left + $k] = $temp[$k];
    }*/
    for ($i = $left, $k = 0; $i <= $right; $i++, $k++) {
        $arr[$i] = $temp[$k];
    }
}
 
// 測試
$arr = [85, 24, 63, 45, 17, 31, 96, 1];
mSort($arr);
print_r($arr);

 

四、效率分析

1、時間復雜度：O(nlogn)

最好情況、最壞情況和平均時間復雜度均為O(nlogn);

2、空間復雜度：O(n)

算法處理過程中，需要一個大小為 n 的臨時存儲空間保存合並序列，所以空間復雜度為O(n)。

3、穩定性：穩定

在歸並排序中，相等的元素的順序不會改變，所以它是穩定排序。