引言
最近在和同學討論研究Six Sigma（六西格瑪）軟件開發方法及CMMI相關問題時，遇到了需要使用Monte-Carlo算法模擬分布未知的多元一次概率密度分布問題。於是花了幾天時間，通過查詢相關文獻資料，深入研究了一下Monte-Carlo算法，並以實際應用為背景進行了一些實驗。
在研究和實驗過程中，發現Monte-Carlo算法是一個非常有用的算法，在許多實際問題中，都有用武之地。目前，這個算法已經在金融學、經濟學、工程學、物理學、計算科學及計算機科學等多個領域廣泛應用。而且這個算法本身並不復雜，只要掌握概率論及數理統計的基本知識，就可以學會並加以應用。由於這種算法與傳統的確定性算法在解決問題的思路方面截然不同，作為計算機科學與技術相關人員以及程序員，掌握此算法，可以開闊思維，為解決問題增加一條新的思路。
基於以上原因，我有了寫這篇文章的打算，一是回顧總結這幾天的研究和實驗，加深印象，二是和朋友們分享此算法以及我的一些經驗。
這篇文章將首先從直觀的角度，介紹Monte-Carlo算法，然后介紹算法基本原理及數理基礎，最后將會和大家分享幾個基於Monte-Carlo方法的有意思的實驗。所以程序將使用C#實現。
閱讀本文需要有一些概率論、數理統計、微積分和計算復雜性的基本知識，不過不用太擔心，我將盡量避免過多的數學描述，並在適當的地方對於用到的數學知識進行簡要的說明。
Monte-Carlo算法引導
首先，我們來看一個有意思的問題：在一個1平方米的正方形木板上，隨意畫一個圈，求這個圈的面積。
我們知道，如果圓圈是標准的，我們可以通過測量半徑r，然后用 S = pi * r^2 來求出面積。可是，我們畫的圈一般是不標准的，有時還特別不規則，如下圖是我畫的巨難看的圓圈。
圖1、不規則圓圈
顯然，這個圖形不太可能有面積公式可以套用，也不太可能用解析的方法給出准確解。不過，我們可以用如下方法求這個圖形的面積：
假設我手里有一支飛鏢，我將飛鏢擲向木板。並且，我們假定每一次都能擲在木板上，不會偏出木板，但每一次擲在木板的什么地方，是完全隨機的。即，每一次擲飛鏢，飛鏢扎進木板的任何一點的概率的相等的。這樣，我們投擲多次，例如100次，然后我們統計這100次中，扎入不規則圖形內部的次數，假設為k，那么，我們就可以用 k/100 * 1 近似估計不規則圖形的面積，例如100次有32次擲入圖形內，我們就可以估計圖形的面積為0.32平方米。
以上這個過程，就是Monte-Carlo算法直觀應用例子。
非形式化地說，Monte-Carlo算法泛指一類算法。在這些算法中，要求解的問題是某隨機事件的概率或某隨機變量的期望。這時，通過“實驗”方法，用頻率代替概率或得到隨機變量的某些數字特征，以此作為問題的解。
上述問題中，如果將“投擲一次飛鏢並擲入不規則圖形內部”作為事件，那么圖形的面積在數學上等價於這個事件發生的概率（稍后證明），為了估計這個概率，我們用多次重復實驗的方法，得到事件發生的頻率 k/100 ，以此頻率估計概率，從而得到問題的解。
從上述可以看出，Monte-Carlo算法區別於確定性算法，它的解不一定是准確或正確的，其准確或正確性依賴於概率和統計，但在某些問題上，當重復實驗次數足夠大時，可以從很大概率上（這個概率是可以在數學上證明的，但依賴於具體問題）確保解的准確或正確性，所以，我們可以根據具體的概率分析，設定實驗的次數，從而將誤差或錯誤率降到一個可容忍的程度。
上述問題中，設總面積為S，不規則圖形面積為s，共投擲n次，其中擲在不規則圖形內部的次數為k。根據伯努利大數定理，當試驗次數增多時，k/n依概率收斂於事件的概率s/S。下面給出嚴格證明：
上述證明從數學上說明用頻率估計不規則圖形面積的合理性，進一步可以給出誤差分析，從而選擇合適的實驗次數n，以將誤差控制在可以容忍的范圍內，此處從略。
從上面的分析可以看出，Monte-Carlo算法雖然不能保證解一定是准確和正確，但並不是“撞大運”，其正確性和准確性依賴概率論，有嚴格的數學基礎，並且通過數學分析手段對實驗加以控制，可以將誤差和錯誤率降至可容忍范圍。
Monte-Carlo算法的數理基礎
這一節討論Monte-Carlo算法的數理基礎。
首先給出三個定義：優勢，一致，偏真。這三個定義在后面會經常用到。
1) 設p為一個實數，且0.5<p<1。如果一個Monte-Carlo方法對問題任一實例的得到正確解的概率不小於p，則該算法是p正確的，且p-0.5叫做此算法的優勢。
2) 如果對於同一實例，某Monte-Carlo算法不會給出不同的解，則認為該算法時一致的。
3) 如果某個解判定問題的Monte-Carlo算法，當返回true時是一定正確的。則這個算法時偏真的。注意，這里沒有定義“偏假”，因為“偏假”和偏真是等價的。因為只要互換算法返回的true和false，“偏假”就變成偏真了。
下面，我們討論Monte-Carlo算法的可靠性和誤差分析。
總體來說，適用於Monte-Carlo算法的問題，比較常見的有兩類。一類是問題的解等價於某事件概率，如上述求不規則圖形面積的問題；另一類是判定問題，即判定某個命題是否為真，如主元素存在性判定和素數測試問題。
先來分析第一類。對於這類問題，通常的方法是通過大量重復性實驗，用事件發生的頻率估計概率。之所以能這樣做的數學基礎，是伯努利大數法則：事件發生的頻率依概率收斂於事件的概率p。這個法則從數學生嚴格描述了頻率的穩定性，直觀意義就是當實驗次數很大時，頻率與概率偏差很大的概率非常小。此類問題的誤差分析比較繁雜，此處從略。有興趣的朋友可以參考相關資料。
接着，我們分析第二類問題。這里，我們只關心一致且偏真的判定問題。下面給出這類問題的正確率分析：
由以上分析可以看到，對於一致偏真的Monte-Carlo算法，即使調用一次得到正確解的概率非常小，通過多次調用，其正確率會迅速提高，得到的結果非常可靠。例如，對一個q為0.5的問題，假設p僅為0.01，通過調用1000次，其正確率約為0.9999784，幾乎可以認為是絕對准確的。重要的是，使用Monte-Carlo算法解判定問題，其正確率不隨問題規模而改變，這就使得僅需要損失微乎其微的正確性，就可以將算法復雜度降低一個數量級，在后面中可以看到具體的例子。
應用實例一：使用Monte-Carlo算法計算定積分
計算定積分是金融、經濟、工程等領域實踐中經常遇到的問題。通常，計算定積分的經典方法是使用Newton-Leibniz公式：
這個公式雖然能方便計算出定積分的精確值，但是有一個局限就是要首先通過不定積分得到被積函數的原函數。有的時候，求原函數是非常困難的，而有的函數，如f(x) = (sinx)/x，已經被證明不存在初等原函數，這樣，就無法用Newton-Leibniz公式，只能另想辦法。
下面就以f(x) = (sinx)/x為例介紹使用Monte-Carlo算法計算定積分的方法。首先需要聲明，f(x) = (sinx)/x在整個實數域是可積的，但不連續，在x = 0這一點沒有定義。但是，當x趨近於0其左右極限都是1。為了嚴格起見，我們補充定義當x = 0時f(x) = 1。另外為了需要，這里不加證明地給出f(x)的一些性質：補充x = 0定義后，f(x)在負無窮到正無窮上連續、可積，並且有界，其界為1，即|f(x)| <= 1，當且僅當x = 0時f(x) = 1。
下面開始介紹Monte-Carlo積分法。為了便於比較，在本節我們除了介紹使用Monte-Carlo方法計算定積分外，同時也探討和實現數值計算中常用的插值積分法，並通過實驗結果數據對兩者的效率和精確性進行比較。
1、插值積分法
我們知道，對於連續可積函數，定積分的直觀意義就是函數曲線與x軸圍成的圖形中，y>0的面積減掉y<0的面積。那么一種直觀的數值積分方法是通過插值方法，其中最簡單的是梯形法則：用以f(a)和f(b)為底，x軸和f(a)、f(b)連線為腰組成的梯形面積來近似估計積分。如下圖所示。
圖2、梯形插值
如圖2所示，藍色部分是x1到x2積分的精確面積，而在梯形插值中，用橙色框所示的梯形面積近似估計積分值。
顯然，梯形法則的效果一般，而且某些情況下偏差很大，於是，有人提出了一種改進的方法：首先將積分區間分段，然后對每段計算梯形插值再加起來，這樣精度就大大提高了。並且分段越多，精度越高。這就是復化梯形法則。
除了梯形插值外，還有許多插值積分法，比較常見的有Sinpson法則，當然對應的也有復化Sinpson法則。下面給出四種插值積分的公式：
下面是四種插值積分法的程序代碼，用C#編寫。
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using
System;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Linq;
using
System.Text;
namespace
MonteCarlo.Integration
{
/// <summary>
/// 數值法求積分
/// 被積函數為 f(x) = (sin x)/x
/// </summary>
public
class
NumericalIntegrator
{
/// <summary>
/// 梯形法則求積分
/// 積分公式為：((b - a) / 2) * [f(a) + f(b)]
/// </summary>
/// <param name="a">積分下限</param>
/// <param name="b">積分上限</param>
/// <returns>積分值</returns>
public
static
double
TrapezoidalIntegrate(
double
a,
double
b)
{
return
((b - a) / 2) * (Math.Sin(a) / a + Math.Sin(b) / b);
}
/// <summary>
/// 復化梯形法則求積分
/// 積分公式為：累加((xi - xi-1) / 2) * [f(xi) + f(xi-1)] (i=1,2,...,n)
/// </summary>
/// <param name="a">積分下限</param>
/// <param name="b">積分上限</param>
/// <param name="n">分段數量</param>
/// <returns>積分值</returns>
public
static
double
ComplexTrapezoidalIntegrate(
double
a,
double
b,
int
n)
{
double
result = 0;
for
(
int
i = 0; i < n; i++)
{
double
xa = a + i * (b - a) / n;
//區間積分下限
double
xb = xa + (b - a) / n;
//區間積分上限
result += ((xb - xa) / 2) * (Math.Sin(xa) / xa + Math.Sin(xb) / xb);
}
return
result;
}
/// <summary>
/// Sinpson法則求積分
/// 積分公式為：((b - a) / 6) * [f(a) + 4 * f((a + b) / 2) + f(b)]
/// </summary>
/// <param name="a">積分下限</param>
/// <param name="b">積分上限</param>
/// <returns>積分值</returns>
public
static
double
SinpsonIntegrate(
double
a,
double
b)
{
return
((b - a) / 6) * (Math.Sin(a) / a + 4 * (Math.Sin(a + b) / (2 * (a + b))) + Math.Sin(b) / b);
}
/// <summary>
/// 復化Sinpson法則求積分
/// 積分公式為：累加(h / 3) * [f(x2i-2) + 4*(f(x2i-1)) + f(x2i)] (i=1,2,...,n/2 h = (b - a) / n)
/// </summary>
/// <param name="a">積分下限</param>
/// <param name="b">積分上限</param>
/// <param name="n">分段數量(必須為偶數)</param>
/// <returns>積分值</returns>
public
static
double
ComplexSinpsonIntegrate(
double
a,
double
b,
int
n)
{
double
result = 0;
for
(
int
i = 0; i < n / 2 - 1; i++)
{
double
xa = a + 2 * i * (b - a) / n;
//區間積分下限
double
xb = xa + (b - a) / n;
//區間積分限中點
double
xc = xb + (b - a) / n;
//區間積分上限
result += ((b - a) / (3 * n) * (Math.Sin(xa) / xa + 4 * (Math.Sin(xb) / xb) + Math.Sin(xc) / xc));
}
return
result;
}
}
}
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2、Monte-Carlo積分法
我們知道，求定積分的直觀意義就是求面積，所以，用Monte-Carlo求積分的原理就是通過模擬統計方法求解面積。即通過向特定區域隨機產生大量點，然后統計點落在函數區域內的頻率，以此頻率估計面積，從而得到積分值。下面給出Monte-Carlo求取積分的算法程序。
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using
System;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Linq;
using
System.Text;
namespace
MonteCarlo.Integration
{
/// <summary>
/// Monte-Carlo法求積分
/// 被積函數為 f(x) = (sin x)/x
/// </summary>
public
class
MonteCarloIntegrator
{
/// <summary>
/// 用Monte-Carlo法求解積分值
/// </summary>
/// <param name="a">積分下限</param>
/// <param name="b">積分上限</param>
/// <param name="N">模擬次數</param>
/// <returns>積分值</returns>
public
static
double
MonteCarloIntegrate(
int
a,
int
b,
int
N)
{
Random random =
new
Random();
int
positivePointCount = 0;
//y >=0 區間內落入函數曲線內的點數目
int
negativePointCount = 0;
//y < 0區間內落入函數曲線內的點數目
//統計y >= 0區間點分布
for
(
int
i = 0; i < N; i++)
{
double
xCoordinate = random.NextDouble();
//隨機產生的x坐標
double
yCoordinate = random.NextDouble();
//隨機產生的y坐標
xCoordinate = a + (b - a) * xCoordinate;
//將x規格化到相應積分區間
//yCoordinate = 1 * yCoordinate;//將y規格化到相應區間
if
(Math.Sin(xCoordinate) / xCoordinate >= yCoordinate)
{
positivePointCount++;
}
}
//統計y < 0區間點分布
for
(
int
i = 0; i < N; i++)
{
double
xCoordinate = random.NextDouble();
//隨機產生的x坐標
double
yCoordinate = random.NextDouble();
//隨機產生的y坐標
xCoordinate = a + (b - a) * xCoordinate;
//將x規格化到相應積分區間
yCoordinate = -1 * yCoordinate;
//將y規格化到相應區間
if
(Math.Sin(xCoordinate) / xCoordinate <= yCoordinate)
{
negativePointCount++;
}
}
double
positiveFrequency = (
double
)positivePointCount / (
double
)N;
//y >= 0區間內函數內點頻率
double
negativeFrequency = (
double
)negativePointCount / (
double
)N;
//y < 0區間內函數內點頻率
return
(positiveFrequency - negativeFrequency) * (
double
)(b - a);
}
}
}
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3、積分法的測試與比較
下面對各種積分方法進行測試，對sinx/x在[1,2]區間上進行定積分。其中，我們分別對復化梯形和復化Sinpson法則做分段為10，10000，和10000000的積分測試。另外，對Monte-Carlo法也投點數也分為10，10000，和10000000。測試結果如下：
圖3、積分法測試結果
為了分析偏差，我們必須給出一個精確值。但是現在我手頭沒有這個積分的精確值，不過1000萬次的梯形法則和Sinpson法則已經精確度很高了，所以這里就以0.65932985作為基本，進行誤差分析。下面給出分析結果：
表1、積分方法實驗結果
首先看時間效率。當頻度較低時，各種方法沒有太多差別，但在1000萬級別上復化梯形和復化Sinpson相差不大，而Monte-Carlo算法的效率快一倍。
而從准確率分析，當頻度較低時，幾種方法的誤差都很大，而隨着頻度提高，插值法要遠遠優於Monte-Carlo算法，特別在1000萬級別時，Monte-Carlo法的相對誤差是插值法的的近萬倍。總體來說，在數值積分方面，Monte-Carlo方法效率高，但准確率不如插值法。
應用實例二：在O(n)復雜度內判定主元素
這次，我們看一個判定問題。問題是這樣的：在一個長度為n的數組中，如果有超過[n/2]的元素具有相同的值，那么具有這個值的元素叫做數組的主元素。現在要求給出一種算法，在O(n)時間內判定給定數組是否存在主元素。
如果采用確定性算法，由於最壞情況下要搜索n/2次，而每次要比較的次數為O(n)量級，這樣，算法的復雜度就是O(n^2)，不可能在O(n)時間內完成。所以我們只好換一種思路：不是要一個一定正確的結果，而只需要結果在很大概率上正確就行。我們可以這樣做：
圖4、Monte-Carlo法判定主元素
上述算法，就是用Monte-Carlo思想求解主元素判定問題的過程。由於閾值N是一個給定的常數，不隨規模變化而變化，所以這個算法的時間復雜度為O(n)，符合題設要求。但這個算法給出的解並不是100%正確的，正確率和N有關。N設得過大，影響效率，N太小，正確率太低，那么到底N設多大合適呢。這就要對算法進行概率分析。
首先，這個算法是一致且偏真的，證明很簡單，這里從略。所以，如果數組中不存在主元素，則結果一定正確，而如果存在，調用一次得到正確結果的概率不低於1/2。由於偏真，在N次調用中只要返回一次True，就可以認為得到正確結果，所以，調用N此得到正確結果的概率不低於1 – (1/2)^N，可以看到，隨着N的增大，這個概率增加很快，只要調用10次，正確率就可以達到99.9%，重要的是，這個正確率和規模無關，即使數組的元素有1千萬億，只需調用10次，正確率依然是99.9%，這就體現出在數組很大時，Monte-Carlo方法的優勢。
下面是使用Monte-Carlo算法進行主元素測試的C#程序示例。
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using
System;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Linq;
using
System.Text;
namespace
MonteCarlo.Detection
{
public
class
PrincipalElementDetector
{
/// <summary>
/// 使用Monte-Carlo發探測主元素
/// </summary>
/// <param name="elements">所有元素</param>
/// <param name="N">閾值</param>
/// <returns>是否存在主元素</returns>
public
static
bool
DetectPrincipalElement(IList<
int
> elements,
int
N)
{
Random random =
new
Random();
bool
result =
false
;
for
(
int
i = 0; i <= N; i++)
{
int
index = random.Next(0, elements.Count - 1);
int
element = elements[index];
int
count = 0;
for
(
int
j = 0; j < elements.Count; j++)
{
if
(element == elements[j])
{
count++;
}
}
if
(count >= elements.Count / 2)
{
result =
true
;
break
;
}
}
return
result;
}
}
}
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程序很簡單，不做贅述。下面測試這個算法。我們分別將閾值設為1、3、10，並且在每個閾值下測試100次，看看這個算法的准確率如何。測試數組是[ 4, 5, 8, 1, 8, 4, 9, 2, 2, 2, 2, 2, 5, 7, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 0, 9, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 4, 7, 8, 2, 2, 2, 2, 2, 0, 1, 2, 2, 2, 2, 2 ]，其中存在主元素2。下面是測試結果：
圖5、Monte-Carlo算法判定主元素實驗結果
測試數組有49個元素，主元素2有29個，比率為59%。從測試結果可以看出，即使閾值為1，正確率也高達84%，而僅僅為3的閾值就使正確率升高到98%，閾值為10時，100次測試全部正確。雖然理論上來說，閾值為10時有0.41^10=0.013%的概率給出錯誤判斷，但是筆者多次試驗，還沒有在閾值為10時得到錯誤結果。所以，Monte-Carlo方法求解判定問題，不論從理論上還是實踐中，都是不錯的方法。
另外一個與判定主元素類似的應用是素數判定問題，我們知道，對於尋找上百位的大素數，完全測試在時間效率上時不允許的。於是，結合費馬小定理使用Monte-Carlo法進行素數判定，是廣泛使用的方法。具體這里不再詳述，感興趣的朋友可以參考相關資料。
應用實例三：分布未知的概率密度函數模擬
現在我們來看看Monte-Carlo算法的第三種應用：模擬。在這種應用中，不再是用Monte-Carlo算法求解問題，而是用來模擬難以解析描述的東西。問題是這樣的：
這個問題是實驗室一個師兄在開發Six Sigma軟件開發過程管理工具時遇到的一個實際需求，最終Y的概率密度函數將被用來計算分位點，從而進行過程控制。其中X可能是正態分布（高斯分布）、泊松分布、均勻分布或指數分布等。將多個不同分布的概率密度函數相加，得到的Y的分布式很難解析表示出來的，但如果是為了計算分位點，我們可以采取這樣一個策略：對於每一個X，產生若干符合其分布的點，帶入公式就得到若干符合Y分布的點，然后分段計算頻率，從而模擬出Y的分布，這些模擬點也可以用於分位點計算。這就是Monte-Carlo模擬的思想。
下面我們實現這個算法，這里的X我們僅給出最常用的正態分布，如果要實現其他分布，只要編寫相應的隨機點發生器就可以了。由於C#中只能產生符合均勻分布的隨機數，所以我們需要一種算法，將均勻分布的隨機數轉為正態分布隨機數。這種算法很多，Marc Brysbaert在1991年發表的《Algorithms for randomness in the behavioral sciences: A tutorial》一文中，共總結了5種將均勻分布隨機數轉為正態分布的隨機數的算法，這里筆者用到的是Knuth在1981年提出的一種算法。這個算法是將符合u(0,1)均勻分布的隨機點轉換為符合N(0,1)標准正態分布的隨機點p，由概率知識可知，要轉為符合N(e,v)的一般正態分布，只需進行p*v+e即可。下面是這個算法：
下面是根據這個算法，使用C#編寫的正態分布隨機點發生器：
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using
System;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Linq;
using
System.Text;
namespace
MonteCarlo.DistributingSimulation
{
public
class
NormalDistributingGenerator
{
/// <summary>
/// 產生符合正態分布的隨機數
/// 正態分布的期望為expectation,方差為variance
/// </summary>
/// <param name="expectation">期望</param>
/// <param name="variance">方差</param>
/// <param name="N">產生的數量</param>
/// <returns>隨機數序列</returns>
public
static
IList<
double
> GenerateNDRNumber(
double
expectation,
double
variance,
int
N)
{
Random random =
new
Random();
IList<
double
> randomList =
new
List<
double
>();
for
(
int
i = 0; i < N; i++)
{
double
u1, u2, v, z, a;
do
{
u1 = random.NextDouble();
u2 = random.NextDouble();
v = 0.8578 * (2 * u2 - 1);
z = v / u1;
a = 0.25 * Math.Exp(2);
if
(a < 1 - u1)
{
break
;
}
}
while
(a > 0.295 / u1 + 0.35 || a > -Math.Log(u1, Math.E));
randomList.Add(z * Math.Sqrt(variance) + expectation);
}
return
randomList;
}
}
}
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接着是利用這個正態分布發生器獲得X的隨機值，並計算出Y的隨機值的代碼。也就是Y的隨機點發生器：
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using
System;
using
System.Collections.Generic;
using
System.Linq;
using
System.Text;
namespace
MonteCarlo.DistributingSimulation
{
public
class
DistributingSimulator
{
/// <summary>
/// 模擬多個正態分布之和的分布情況，產生符合復合分布的隨機點
/// y = a0 + a1*N(e1,v1) + ... + an*N(en,vn)
/// N(e,v)表示期望為e，方差為v的正態分布
/// </summary>
/// <param name="a">常數列</param>
/// <param name="e">期望列</param>
/// <param name="v">方差列</param>
/// <param name="N">產生模擬點的個數</param>
/// <returns>模擬點序列</returns>
public
static
IList<
double
> Simulate(IList<
double
> a,IList<
double
> e,IList<
double
> v,
int
N)
{
IList<
double
> result =
new
List<
double
>();
IList<IList<
double
>> randomLists =
new
List<IList<
double
>>();
int
count = a.Count - 1;
//產生各個自變量的隨機序列
for
(
int
i = 1; i <= count; i++)
{
randomLists.Add(NormalDistributingGenerator.GenerateNDRNumber(e[i], v[i], N));
}
//帶入公式
for
(
int
j = 0; j < N; j++)
{
double
y = 0;
for
(
int
k = 1; k <= count; k++)
{
y += a[k] * randomLists[k - 1][j];
}
y += a[0];
result.Add(y);
}
return
result;
}
}
}
|
這樣，我們就可以產生任意多個符合Y分布的隨機點，從而借此模擬Y的概率密度分布。
接着，我們測試一下這個模擬程序的效果，首先我們將初始值設為僅有一個符合標准正態分布的X，這樣Y=X，我們看看直接模擬一個標准正態分布的效果。這里，我們產生100萬個隨機點。
圖6、使用Monte-Carlo算法模擬標准正態分布
可以看到，模擬效果基本令人滿意。接下來，我們實際應用這個程序模擬一個分布未知的Y，其中Y = 15 + 2*N(2,8) + 5*N(-10,9) + 7*N(0,0.5)。模擬結果如下：
圖7、使用Monte-Carlo算法模擬未知分布
有了符合Y分布的大量隨機點以及頻率統計，就可以隨心所欲繪出分布模擬圖，並進行分位點計算。這樣就用Monte-Carlo算法解決了本節開頭提到的問題。
總結
本文首先通過一個不規則圖形面積計算的例子直觀介紹了Monte-Carlo算法，然后給出了Monte-Carlo算法在應用過程中需要了解的數理基礎。然后大篇幅介紹了三個應用：計算、判定和模擬。
總體來說，當需要求解的問題依賴概率時，Monte-Carlo方法是一個不錯的選擇。但這個算法畢竟不是確定性算法，在應用過程中需要冒一定“風險”，這就要求不能濫用這個算法，在應用過程中，需要對其准確率或正確率進行數理分析，合理設計實驗，從而得到良好的結果，並將風險控制在可容忍的范圍內。
其實，不確定性算法不只Monte-Carlo一種，Sherwood算法、Las Vegas算法和遺傳算法等也是經典的不確定算法。在很多問題上，不確定性算法具有很好大的應用價值。有興趣的朋友可以參考相關資料。
參考文獻
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[5] 王曉東 著，計算機算法設計與分析。電子工業出版社，2001.1
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[7] Patrick Smacchia 著，施凡等 譯，C#和.NET2.0 平台、語言與框架。2008.1
[8] Google。www.google.com
[9] Wikipedia。www.wikipedia.org