求中位數，O(n)的java實現【利用快速排序折半查找中位數】

查找無序數組的中位數，要想時間復雜度為O(n)其實用計數排序就能很方便地實現，在此討論使用快速排序進行定位的方法。

1、中位數定義

2、算法思想

3、Java代碼實現

4、時間復雜度分析

5、附錄

 

 

中位數一般兩種定義：

第一種：

排序后數組的中間位置的值，如果數組的個數是偶數個，則返回排序后數組的第N/2個數。

第一種（官方）：

排序后數組的中間位置的值，如果數組的個數是偶數個，則返回最中間兩個數的平均數。

例如：{ 7, 9, 4, 5} 　　第一種輸出5；第二種輸出6.0

 

 

算法思想：大家應該都知道，快速排序每一躺都能定位一個數在這個數組的最終位置，所以可以利用此特性對數組中任意一個位置進行二分法定位。

　　　　方法就是：一趟快排的partition結束之后，將此時定位的位置與欲定位位置進行比較，如果不等於，則將partition的區間折半，直到等於為止，返回這個位置的值

 

Java代碼實現：

因為第二種中位數定義需要定位兩個位置，在第一種上擴展即可，所以先討論第一種：

    public static int getMedian(int[] nums) {
        return partition(nums, 0, nums.length - 1);
    }

    private static int partition(int[] nums, int start, int end) {
        /***快排partition函數原代碼——start***/
        int left = start;
        int right = end + 1;

        int point = nums[start];
        while (true) {
            while (left < right && nums[--right] >= point)
                ;
            while (left < right && nums[++left] <= point)
                ;
            if (left == right) {
                break;
            } else {
                int tmp = nums[left];
                nums[left] = nums[right];
                nums[right] = tmp;
            }
        }
        nums[start] = nums[left];
        nums[left] = point;
        /***快排partition函數原代碼——end***/
        
        /***定位判斷***/
        if (left == (nums.length - 1) / 2) {
            return nums[left];
        } else if (left > (nums.length - 1) / 2) {
            return partition(nums, start, left - 1);
        } else {
            return partition(nums, left + 1, end);
        }
    }

 其實就是在原來的partition結束后加了一個定位判斷，此時left指向的就是已經本趟定位的那一個數，如果沒有定位成功則將上下界調整折半。

【注意】：“如果數組的個數是偶數個，則返回排序后數組的第N/2個數”這句話需要用 (nums.length - 1) / 2 來實現這句描述的下標，並滿足奇數時取最中間下標的效果。

 

時間復雜度分析：

由於此方法采用的也是遞歸，那么必定符合遞歸的復雜度通項表達式： T(n) = aT(n/b) + f(n) 

其中a為每次遞歸會分成幾個需要計算的下一層，(n/b)為下一層計算的元素個數，f(n)為本層的計算復雜度

由於是折半查找，所以有：a=1、b=2（平均）、f(n)=n(每次的遍歷比較交換)

所以有

T(n) = T(n/2) +n
        =  T(n/4) + n/2 +n
        ……
        = T(1) + 2 + …… + n/2 +n    // T(1)≈1 等比數列求和
        = （1 - n * 2)/(1 - 2)
        = 2n - 1

所以最后平均時間復雜度為O(n)

【最優情況下b=n復雜度O(n);

　最壞情況下b=n-1/n，也就是(n/b)=(n-1),此時復雜度為O(n²)，請自行計算哈】

 

附錄——第二種求中位數的實現

思路：第一種已經解決了定位一個數字，而第二種就是定位兩個數字，由於定位一個數字的時候不能保證另一個數字已經排序好，所以還需重新調用方法

　　那么就把方法中定位判斷的部分單獨移出來做一個getByQuickSort(int[] nums，int stop)

 

java代碼實現：

    public static double getByQuickSort(int[] nums, int stop) {
        if (stop < 0 || stop >= nums.length) {
            throw new IndexOutOfBoundsException();
        }
        
        int start = 0;
        int end = nums.length -1;
        int par = 0;
        
        while (start <= end) {
            par = partition(nums, start, end);
            if (par == stop) {
                break;
            } else if (par > stop) {
                end = par - 1;
            } else {
                start = par + 1;
            }
        }
        return nums[par];
    }

此處的partition(...)方法就是上一段代碼中的partition方法中把 /***定位判斷***/ 以下都去掉，然后加一個 return left； 即可。

而找中位數就再寫一個方法getMedian2(...)判斷一下奇偶，再調用getByQuickSort(....)就可以了：

    public static double getMedian2(int[] nums) {
        if (nums.length % 2 == 1) {
            return getByQuickSort(nums, nums.length / 2);
        } else {
            return (getByQuickSort(nums, nums.length / 2 - 1) + 
                    getByQuickSort(nums, nums.length / 2)) / 2.0;
        }
    }