高斯消元總結

這個東西很簡單的，保證你一看就懂
我們現在有n個n元方程，每個形如

\[a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=c \]

我們要解這個方程組

我們運用初中數學里面學的加減消元的方法
我們先拿第一個方程，把剩下的n-1個方程里面的\(x_1\)的系數全部消掉
然后剩下的n-1個方程就都沒有\(x_1\)項了（或者說是前面的系數變成了0）
接着拿第二個方程，把剩下n-2個方程里面的\(x_2\)的系數全部消掉
然后剩下的n-2個方程就都沒有\(x_2\)項了
以此類推。。。
最終會被消成一個倒三角（形象地來想，如果你把系數和常數項看作是一個\(n*(n+1)\)的矩陣的話，那么消完以后，矩陣的正對角線下方的數會全部變成0）
或者這么講吧，消完之后，第i個方程的\(x_1\)～\(x_{i-1}\)的系數會全部變成0
（應該不難理解吧）
這時我們發現，第n個方程只剩下\(x_n\)了，即\(a_nx_n=c_n\)。所以我們就把它解出來，然后依次往上代入，就可以求解所有的n個\(x\)值了。

這里給出洛谷的模板題【模板】高斯消元法
以下代碼中包含判非唯一解的方法，請讀者自行思考。

code

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N = 105;
int n;
double a[N][N],x[N];
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for (int i=1;i<=n;i++)
		for (int j=1;j<=n+1;j++)
			scanf("%lf",&a[i][j]);
	for (int i=1;i<=n;i++)
	{
		if (a[i][i]==0) return puts("No Solution"),0;
		for (int j=i+1;j<=n;j++)
			for (int k=n+1;k>=i;k--)
				a[j][k]-=a[i][k]*a[j][i]/a[i][i];
	}
	for (int i=n;i;i--)
	{
		x[i]=a[i][n+1];
		for (int j=n;j>i;j--) x[i]-=a[i][j]*x[j];
		x[i]/=a[i][i];
	}
	for (int i=1;i<=n;i++)
		printf("%.2lf\n",x[i]);
	return 0;
}