【BZOJ3309】DZY Loves Math

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Description

　　
​　　 對於正整數n，定義f(n)為n所含質因子的最大冪指數。例如f(1960)=f(2^3 * 5^1 * 7^2)=3, f(10007)=1, f(1)=0。
​　　 給定正整數a,b，求\(\sum\limits _{i=1}^a \sum\limits_{j=1}^b f(gcd(i,j))\)。
　　

Input

　　
　　第一行一個數T，表示詢問數。
　　接下來T行，每行兩個數a,b，表示一個詢問。
　　

Output

　　
​　　 對於每一個詢問，輸出一行一個非負整數作為回答。
　　

Sample Input

　　
​　　 4
​　　 7558588 9653114
​　　 6514903 4451211
​　　 7425644 1189442
　　​ 6335198 4957
　　

Sample Output

　　
​　　 35793453939901
​　　 14225956593420
​　　 4332838845846
　　​ 15400094813
　　

HINT

　　
【數據規模】
　　T<=10000
​　　1<=a,b<=10^7
　　
　　
　　

Solution

　　
　　這里用\(n\)和\(m\)代表題目中的\(a\)和\(b\)。-_-

\[\begin{aligned} ans&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mf(gcd(i,j))\\ &=\sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)*sum(x) &sum(x)為x=gcd(i,j)的(i,j)對數，滿足i和j在n和m范圍內\\ &=\sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)\sum_{x|d}\mu(\frac dx)\lfloor\frac nd\rfloor\lfloor\frac md\rfloor\\ &=\sum_{x=1}^{min(n,m)}f(x)\sum_{k=1}^{\lfloor min(n,m)/x\rfloor}\mu(k)\lfloor\frac n{kx}\rfloor\lfloor\frac m{kx}\rfloor\\ &=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor\sum_{d|T}f(d)\mu(\frac Td)\\ &=\sum_{T=1}^{min(n,m)}\lfloor\frac nT\rfloor\lfloor\frac mT\rfloor g(T) &令g(x)=\sum\limits_{d|x}f(d)\mu(\frac xd) \end{aligned} \]

　　
​ 現在關鍵是求解\(g\)函數，完事后求\(g\)的前綴和，一樣根號分段求\(ans\).
　　
​ （1）當\(x\)為質數時，\(g(x)=f(1)\mu(x)+f(x)\mu(1)=0+1=1\)
　　
　　
　　
　　​ （2）當篩到\(x=p*i\)時，分解質因數\(x=p_1^{q_1}p_2^{q_2}...p_k^{q_k}\)，\(\frac xd=p_1^{a_1}p_2^{a_2}...p_k^{a_k}\)，顯然\(或a_i=0或1\)，才能對\(g(x)\)有貢獻，不然\(\mu({\frac xd})=0\). 現在只考慮滿足\(或a_i=0或1\)的因數\(d\).

\[\begin{aligned} g(x)&=\sum_{d|x}f(d)\mu(\frac xd)\\ &=f(x)\sum_{d|x且f(d)=f(x)} \mu(\frac xd)+(f(x)-1)\sum_{d|x且f(d)\ne f(x)}\mu(\frac xd)\\ &=-\sum_{d|x且f(d)\ne f(x)}\mu(\frac xd) \end{aligned} \]

　　​ 要滿足\(f(d)\ne f(x)\)，所有\(q_i=f(x)\)的\(p_i\)的指數在\(d\)中都要變成\(q_i-1\).
　　
　　1° 如果所有\(q_i=f(x)\)，那么\(a_i\)全部取1，則\(g(x)=-\mu(p_1p_2...p_k)=-(-1)^k=(-1)^{k+1}\),這里有個特殊情況，如果\(i\)為\(p\)的完全平方數，即\(i=p^{a_i}\)，（這里的\(a\)是最后提到的那個\(a\)數組），那么\(x=p^{a_i+1}\),則\(g(x)=-\mu(p)=1\)
　　
　　2° 否則若存在\(q_i\ne f(x)\)，\(g(x)=0\).
　　
​　　 記\(A=\{i|q_i=f(x)\},B=\{i|q_i\ne f(x)\}\).
　　
​　　 對於\(A\)中的\(i\)，\(a_i\)必須取1，而\(B\)中的\(a_i\)取0或1都可以，那么

\[\begin{aligned} g(x)&=-\sum\mu((\prod_{i\in A}p_i)*(\prod_{j\in B}(p_j或1))\\ &=-\mu(\prod_{i\in A}p_i)\sum\mu(\prod_{j\in B}(p_j或1))\\ &=-(-1)^{|A|}*0&\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \prod_{i\in B}(p_j或1)有奇數個質數和偶數個質數的情況次數一樣，正負抵消\\ &=0 &大快人心 \end{aligned} \]

​　　
　　
​　　 線性篩時，維護一個\(a_i\)表示\(i\)的最小質因子\(p_{min}\)的指數，\(b_i\)表示\(p_{min}^{a_i}\).
　　
​　　 由於每次循環的\(p\)都是\(x\)的最小質因子，故每次更新時比較\(a_i\)和\(a_x\)是否相同，如果相同就更新，如果不相同直接等於0，這樣就可以保證每一個數\(x\)如果存在質因子指數不同的情況，\(g(x)\)立即等於0. 詳情見代碼.
　　
　　
　　

#include <cstdio>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+1;
int vis[N],lis[N],cnt;
ll g[N],a[N],b[N];
inline void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y;y=t;}
inline int min(int x,int y){return x<y?x:y;}
void init(){
	for(int i=2;i<N;i++){
		if(!vis[i]){
			lis[++cnt]=i;
			a[i]=1; b[i]=i;
			g[i]=1;
		}
		for(int j=1;j<=cnt&&i*lis[j]<N;j++){
			int x=i*lis[j],p=lis[j];
			vis[x]=1;
			if(i%p==0){
              	//d是i去除p后的數，i=d*p^ai, x=d*p^(ai+1) 故ax=ai+1,bx相應乘上p
				a[x]=a[i]+1;	
				b[x]=b[i]*p;
				int d=i/b[i];
				if(d==1) g[x]=1; //特殊情況（邊界情況）i是p的冪 
				else g[x]=(a[x]==a[d])?-g[d]:0;	 //若x滿足所有指數相同，g(x)=g(d)乘上-1，否則為0
				break;
			}
			a[x]=1; b[x]=p;
			g[x]=a[i]==1?-g[i]:0; //原理同上
		}
	}
	for(int i=2;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
}
int main(){
	freopen("input.in","r",stdin);
	init();
	int T,a,b;
	ll ans;
	scanf("%d",&T);
	while(T--){
		scanf("%d%d",&a,&b);
		if(a>b) swap(a,b);
		ans=0;
		for(int i=1,j;i<=a;i=j+1){
			j=min(a/(a/i),b/(b/i));
			ans+=1LL*(a/i)*(b/i)*(g[j]-g[i-1]);
		}
		printf("%lld\n",ans);
	}
	return 0;
}