用Python實現出來的機器學習算法都是什么樣子呢？ 前兩期線性回歸及邏輯回歸項目已發布（見文末鏈接），今天來講講BP神經網絡。
BP神經網絡
全部代碼
https://github.com/lawlite19/MachineLearning_Python/blob/master/NeuralNetwok/NeuralNetwork.py
神經網絡model
先介紹個三層的神經網絡，如下圖所示
輸入層（input layer）有三個units（
為補上的bias，通常設為1）
表示第j層的第i個激勵，也稱為為單元unit
為第j層到第j+1層映射的權重矩陣，就是每條邊的權重
所以可以得到：
隱含層：
輸出層
，
其中，S型函數
，也成為激勵函數
可以看出
為3x4的矩陣，
為1x4的矩陣
==》j+1的單元數x（j層的單元數+1）
代價函數
假設最后輸出的
，即代表輸出層有K個單元
，
其中，
代表第i個單元輸出與邏輯回歸的代價函數
差不多，就是累加上每個輸出（共有K個輸出）
正則化
L-->所有層的個數
-->第l層unit的個數
正則化后的代價函數為
共有L-1層，然后是累加對應每一層的theta矩陣，注意不包含加上偏置項對應的theta(0)
正則化后的代價函數實現代碼：
# 代價函數def nnCostFunction(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0] # theta的中長度
# 還原theta1和theta2
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
# np.savetxt("Theta1.csv",Theta1,delimiter=',')
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 數據的y對應0-9，需要映射為0/1的關系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以賦值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因為正則化時從1開始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
# 正則化向theta^2
term = np.dot(np.transpose(np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1)))),np.vstack((Theta1_x.reshape(-1,1),Theta2_x.reshape(-1,1))))
'''正向傳播,每次需要補上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''代價'''
J = -(np.dot(np.transpose(class_y.reshape(-1,1)),np.log(h.reshape(-1,1)))+np.dot(np.transpose(1-class_y.reshape(-1,1)),np.log(1-h.reshape(-1,1)))-Lambda*term/2)/m
return np.ravel(J)
反向傳播BP
上面正向傳播可以計算得到J(θ),使用梯度下降法還需要求它的梯度
BP反向傳播的目的就是求代價函數的梯度
假設4層的神經網絡,
記為-->l層第j個單元的誤差
《===》
（向量化）
沒有
，因為對於輸入沒有誤差
因為S型函數
的倒數為：
，
所以上面的
和
可以在前向傳播中計算出來
反向傳播計算梯度的過程為：
（
是大寫的
）
for i=1-m:-
-正向傳播計算
（l=2,3,4...L）
-反向計算
、
...
；
-
-
最后
，即得到代價函數的梯度
實現代碼：
# 梯度def nnGradient(nn_params,input_layer_size,hidden_layer_size,num_labels,X,y,Lambda):
length = nn_params.shape[0]
Theta1 = nn_params[0:hidden_layer_size*(input_layer_size+1)].reshape(hidden_layer_size,input_layer_size+1)
Theta2 = nn_params[hidden_layer_size*(input_layer_size+1):length].reshape(num_labels,hidden_layer_size+1)
m = X.shape[0]
class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 數據的y對應0-9，需要映射為0/1的關系
# 映射y
for i in range(num_labels):
class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以賦值
'''去掉theta1和theta2的第一列，因為正則化時從1開始'''
Theta1_colCount = Theta1.shape[1]
Theta1_x = Theta1[:,1:Theta1_colCount]
Theta2_colCount = Theta2.shape[1]
Theta2_x = Theta2[:,1:Theta2_colCount]
Theta1_grad = np.zeros((Theta1.shape)) #第一層到第二層的權重
Theta2_grad = np.zeros((Theta2.shape)) #第二層到第三層的權重
Theta1[:,0] = 0;
Theta2[:,0] = 0;
'''正向傳播，每次需要補上一列1的偏置bias'''
a1 = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
z2 = np.dot(a1,np.transpose(Theta1))
a2 = sigmoid(z2)
a2 = np.hstack((np.ones((m,1)),a2))
z3 = np.dot(a2,np.transpose(Theta2))
h = sigmoid(z3)
'''反向傳播，delta為誤差，'''
delta3 = np.zeros((m,num_labels))
delta2 = np.zeros((m,hidden_layer_size))
for i in range(m):
delta3[i,:] = h[i,:]-class_y[i,:]
Theta2_grad = Theta2_grad+np.dot(np.transpose(delta3[i,:].reshape(1,-1)),a2[i,:].reshape(1,-1))
delta2[i,:] = np.dot(delta3[i,:].reshape(1,-1),Theta2_x)*sigmoidGradient(z2[i,:])
Theta1_grad = Theta1_grad+np.dot(np.transpose(delta2[i,:].reshape(1,-1)),a1[i,:].reshape(1,-1))
'''梯度'''
grad = (np.vstack((Theta1_grad.reshape(-1,1),Theta2_grad.reshape(-1,1)))+Lambda*np.vstack((Theta1.reshape(-1,1),Theta2.reshape(-1,1))))/m
return np.ravel(grad)
BP可以求梯度的原因
實際是利用了鏈式求導法則
因為下一層的單元利用上一層的單元作為輸入進行計算
大體的推導過程如下，最終我們是想預測函數與已知的y非常接近，求均方差的梯度沿着此梯度方向可使代價函數最小化。可對照上面求梯度的過程。
求誤差更詳細的推導過程：
梯度檢查
檢查利用BP求的梯度是否正確
利用導數的定義驗證：
求出來的數值梯度應該與BP求出的梯度非常接近
驗證BP正確后就不需要再執行驗證梯度的算法了
實現代碼：
# 檢驗梯度是否計算正確# 檢驗梯度是否計算正確
def checkGradient(Lambda = 0):
'''構造一個小型的神經網絡驗證，因為數值法計算梯度很浪費時間，而且驗證正確后之后就不再需要驗證了'''
input_layer_size = 3
hidden_layer_size = 5
num_labels = 3
m = 5
initial_Theta1 = debugInitializeWeights(input_layer_size,hidden_layer_size);
initial_Theta2 = debugInitializeWeights(hidden_layer_size,num_labels)
X = debugInitializeWeights(input_layer_size-1,m)
y = 1+np.transpose(np.mod(np.arange(1,m+1), num_labels))# 初始化y
y = y.reshape(-1,1)
nn_params = np.vstack((initial_Theta1.reshape(-1,1),initial_Theta2.reshape(-1,1))) #展開theta
'''BP求出梯度'''
grad = nnGradient(nn_params, input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y, Lambda)
'''使用數值法計算梯度'''
num_grad = np.zeros((nn_params.shape[0]))
step = np.zeros((nn_params.shape[0]))
e = 1e-4
for i in range(nn_params.shape[0]):
step[i] = e
loss1 = nnCostFunction(nn_params-step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
loss2 = nnCostFunction(nn_params+step.reshape(-1,1), input_layer_size, hidden_layer_size,
num_labels, X, y,
Lambda)
num_grad[i] = (loss2-loss1)/(2*e)
step[i]=0
# 顯示兩列比較
res = np.hstack((num_grad.reshape(-1,1),grad.reshape(-1,1)))
print res
權重的隨機初始化
神經網絡不能像邏輯回歸那樣初始化theta為0,因為若是每條邊的權重都為0，每個神經元都是相同的輸出，在反向傳播中也會得到同樣的梯度，最終只會預測一種結果。
所以應該初始化為接近0的數
實現代碼
# 隨機初始化權重thetadef randInitializeWeights(L_in,L_out):
W = np.zeros((L_out,1+L_in)) # 對應theta的權重
epsilon_init = (6.0/(L_out+L_in))**0.5
W = np.random.rand(L_out,1+L_in)*2*epsilon_init-epsilon_init # np.random.rand(L_out,1+L_in)產生L_out*(1+L_in)大小的隨機矩陣
return W
預測
正向傳播預測結果
實現代碼
# 預測def predict(Theta1,Theta2,X):
m = X.shape[0]
num_labels = Theta2.shape[0]
#p = np.zeros((m,1))
'''正向傳播，預測結果'''
X = np.hstack((np.ones((m,1)),X))
h1 = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(Theta1)))
h1 = np.hstack((np.ones((m,1)),h1))
h2 = sigmoid(np.dot(h1,np.transpose(Theta2)))
'''
返回h中每一行最大值所在的列號
- np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某個數字的最大概率）
- 最后where找到的最大概率所在的列號（列號即是對應的數字）
'''
#np.savetxt("h2.csv",h2,delimiter=',')
p = np.array(np.where(h2[0,:] == np.max(h2, axis=1)[0]))
for i in np.arange(1, m):
t = np.array(np.where(h2[i,:] == np.max(h2, axis=1)[i]))
p = np.vstack((p,t))
return p
輸出結果
梯度檢查：
隨機顯示100個手寫數字
顯示theta1權重
訓練集預測准確度
歸一化后訓練集預測准確度
