最小樹形圖及其生產方法

諸位看官，這是我第一次在整篇文章的所有圖片里面加水印。小弟寫博客的時間不長，就有兩篇博客被盜用並未注明原文網址。這一方面使我痛心不已，另一方面迫使我不得不重新考慮一下版權保護問題。小弟不是吝嗇鬼，如果影響閱讀或者是確實需要我的圖片的，請私信我，我將免費為有需求的看官提供圖片。謝謝了！

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最小樹形圖（Arborescence，亦稱Directed Rooted Tree）是有向圖的最小生成樹（Minimum Spanning Tree）。本博客旨在詳細的介紹最小樹形圖的生成方法，但不涉及具體的數學推導。先看一副有向權重圖：

我們該如何求這幅圖的一個最小樹形圖呢？我們在這里給出求最小樹形圖的一個流程圖，該流程圖是經典的Zhu-Liu算法：

上圖中已經詳細的給出了最小樹形圖的全部步驟，現在給出如何解決Step2中更新“以前指向該環中的任意節點的路徑”的辦法。 假定環路中存在一點v，環中有一條邊e1指向該點。環外有一條邊e2指向該點。則e2更新后，新邊的權重e2_new=e2_old-e1（環外邊權重減環內邊權重）。

下面是針對本文開始所給出的圖生成最小樹形圖的完整步驟：

算法開始（原圖）：

 

現在指定 根節點為V1，即生成根節點為V1的最小樹形圖。（也可指定其他節點，這里以V1為例）

根據流程圖中Step1的規則，根節點V1不用選擇指向該點的最小權重邊；指向V2的最小權重邊為a5；指向V3的最小權重邊為a4；指向V4的最小權重邊為a7；指向V5的最小權重邊為a8；指向V6的最小權重邊為a10；指向V7的最小權重邊為a14；如下圖：

上圖中有兩個環，分別為由V2-V3組成的環和由V4-V5-V6組成的環。現在根據Step2分別對兩個環路進行治理。

首先治理V2-V3環：

第一步：縮環為點，如下圖左側的大圓點（縮環為點后a4,a5邊被取消，其余所有邊保留）

第二步：對於所有從大圓點出去的邊，其權重保持不變；對於所有指向大圓點的邊，更新其權值。在這里采用W[e]表示邊e的權重；用W[e]_New表示邊e更新后的權重；W[e]_Old表示邊e更新前的權重。

W[a1]_New = W[a1]_Old - W[a5] =9-7=2

W[a9]_New = W[a9]_Old - W[a4] =8-3=5

W[a13]_New = W[a13]_Old - W[a4] =4-3=1

邊緣權重更新后的圖如下圖所示：

其次治理V4-V5-V6環：
第一步：縮環為點，如下圖右側的大圓點（縮環為點后a7,a8,a10邊被取消，其余所有邊保留）
第二步：對於所有從大圓點出去的邊，其權重保持不變；對於所有指向大圓點的邊，更新其權值。
W[a3]_New = W[a3]_Old - W[a8] =5-3=2
W[a6]_New = W[a6]_Old - W[a7] =9-4=5
W[a11]_New = W[a11]_Old - W[a10] =9-5=4
W[a15]_New = W[a15]_Old - W[a10] =8-5=3
邊緣權重更新后的圖如下圖所示：

對於新到的圖，按照Step1中的描述，重新尋找除V1以外，指向其他節點的最小邊。其結果如下圖所示：

指向V2V3節點的最小邊為a13，指向V7節點的最小邊為a14；指向V4V5V6節點的最小邊為a3。原論文中證明，a3,a14,a13一定是以V1為根的最小樹形圖的邊集的子集，現在對V2V3節點和V4V5V6節點做展開操作。我們回到原圖中（權重全部恢復到原圖的權重），並標記a3,a14,a13這三條邊，如下圖：

不難發現如果從根節點V1發出的信息想要順暢的流到V4，則只能選擇a7；同理，如果從V1出發的信息流想要順暢的流到V6，則只能選擇經V4到V6的a10。因此，a7,a10在邊集內。同理如果從V1發出的信息想要流向V2，則只能選擇經V3到V2方向的a5。此時所有的節點都有邊相連。新從根節點V1，可以順有向邊的方向到任意節點，如下圖：

上圖即是以 V1 為根節點的最小樹形圖。