一、相關定義
定義：設G = (V,E)是一個有向圖，它具有下述性質：
- G中不包含有向環；
- 存在一個頂點vi，它不是任何弧的終點，而V中的其它頂點都恰好是唯一的一條弧的終點，則稱 G是以vi為根的樹形圖。
最小樹形圖就是有向圖G = (V, E)中以vi為根的樹形圖中權值和最小的那一個。
另一種說法：最小樹形圖，就是給有向帶權圖一個特殊的點root，求一棵以root為根節點的樹使得該樹的的總權值最小。
性質：最小樹形圖基於貪心和縮點的思想。
縮點：將幾個點看成一個點，所有連到這幾個點的邊都視為連到收縮點,所有從這幾個點連出的邊都視為從收縮點連出
二、算法描述
【概述】
為了求一個圖的最小樹形圖，①先求出最短弧集合E0；②如果E0不存在，則圖的最小樹形圖也不存在；③如果E0存在且不具有環，則E0就是最小樹形圖；④如果E0存在但是存在有向環，則把這個環收縮成一個點u，形成新的圖G1，然后對G1繼續求其的最小樹形圖，直到求到圖Gi，如果Gi不具有最小樹形圖，那么此圖不存在最小樹形圖，如果Gi存在最小樹形圖，那么逐層展開，就得到了原圖的最小樹形圖。
【實現細節】
設根結點為v0，
- （1）求最短弧集合E0
從所有以vi(i ≠ 0)為終點的弧中取一條最短的，若對於點i，沒有入邊，則不存在最小樹形圖，算法結束；如果能取，則得到由n個點和n-1條邊組成的圖G的一個子圖G'，這個子圖的權值一定是最小的，但是不一定是一棵樹。
- （2）檢查E0
若E0沒有有向環且不包含收縮點,則計算結束，E0就是圖G以v0為根的最小樹形圖；若E0含有有向環，則轉入步驟(3)；若E0沒有有向環,但是存在收縮點，轉到步驟(4)。
- （3）收縮G中的有向環
把G中的環C收縮成點u，對於圖G中兩端都屬於C的邊就會被收縮掉，其他弧仍然保留，得到一個新的圖G1，G1中以收縮點為終點的弧的長度要變化。變化的規則是：設點v在環C中，且環中指向v的邊的權值為w，點v'不在環C中，則對於G中的每一條邊<v', v>，在G1中有邊<v', u>和其對應，且權值WG1(<v', u>) = WG(<v', v>) - w；對於圖G中以環C中的點為起點的邊<v', v>，在圖G1中有邊<u, v'>，則WG1(<u, v'>) = WG(<v', v>)。有一點需要注意,在這里生成的圖G1可能存在重邊。
對於圖G和G1：
①如果圖G1中沒有以v0為根的最小樹形圖，則圖G也沒有；
②如果G1中有一v0為根的最小樹形圖，則可按照步驟（4）的展開方法得到圖G的最小樹形圖。
所以，應該對於圖G1代到(1)中反復求其最小樹形圖，直到G1的最小樹形圖u求出。
- （4）展開收縮點
假設圖G1的最小樹形圖為T1,那么T1中所有的弧都屬於圖G的最小樹形圖T。將G1的一個收縮點u展開成環C，從C中去掉與T1具有相同終點的弧，其他弧都屬於T。
【小結】
對最小樹形圖做個小小的總結：
1：清除自環，自環是不可能存在於任何最小樹形圖中的；
2：求出每個頂點的的最小入邊；
3：判斷該圖是否存在最小樹形圖，由 1 可以判定，或者以圖中頂點v作為根節點遍歷該圖就能判斷是否存在最小樹形圖；
4：找環，之后建立新圖，縮點后重新標記。
【圖示——最小樹形圖構造流程】
解讀：第一幅圖為原始圖G，首先對於圖G求其最短弧集合E0，即第二幅圖G1；然后檢查E0是滿足條件，在這里，可以看到G1具有兩個環，那么把這兩個環收縮，如第三幅圖所示，U1、U2分別為收縮后的點，然后將對應的權值進行更新，起點是環中的點，終點是環外的點，則權值不變。反之，起點是環外的點，終點是環內的點，則權值應該減去E0中指向環內點的權值，形成新的圖，如第三幅圖，對於其反復求最小樹形圖，直到不存在最小樹形圖，或者求得縮點后的圖的最小樹形圖，然后展開就好了，如第六幅圖。
如果只要求計算權值的話，則不需要展開，所有環中權值的和加上其他各個點與點之間，或者收縮點和點之間的權值就是總的權值。
三、沙場練兵
題目：hdu 2121 Ice_cream’s world II
代碼：
#include<iostream>
using namespace std;
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MAXN 1005
#define INF 0x7f7f7f7f
typedef __int64 type;
struct node//邊的權和頂點
{
int u, v;
type w;
}edge[MAXN * MAXN];
int pre[MAXN], id[MAXN], vis[MAXN], n, m, pos;
type in[MAXN];//存最小入邊權,pre[v]為該邊的起點
type Directed_MST(int root, int V, int E)
{
type ret = 0;//存最小樹形圖總權值
while(true)
{
int i;
//1.找每個節點的最小入邊
for( i = 0; i < V; i++)
in[i] = INF;//初始化為無窮大
for( i = 0; i < E; i++)//遍歷每條邊
{
int u = edge[i].u;
int v = edge[i].v;
if(edge[i].w < in[v] && u != v)//說明頂點v有條權值較小的入邊 記錄之
{
pre[v] = u;//節點u指向v
in[v] = edge[i].w;//最小入邊
if(u == root)//這個點就是實際的起點
pos = i;
}
}
for( i = 0; i < V; i++)//判斷是否存在最小樹形圖
{
if(i == root)
continue;
if(in[i] == INF)
return -1;//除了根以外有點沒有入邊,則根無法到達它 說明它是獨立的點 一定不能構成樹形圖
}
//2.找環
int cnt = 0;//記錄環數
memset(id, -1, sizeof(id));
memset(vis, -1, sizeof(vis));
in[root] = 0;
for( i = 0; i < V; i++) //標記每個環
{
ret += in[i];//記錄權值
int v = i;
while(vis[v] != i && id[v] == -1 && v != root)
{
vis[v] = i;
v = pre[v];
}
if(v != root && id[v] == -1)
{
for(int u = pre[v]; u != v; u = pre[u])
id[u] = cnt;//標記節點u為第幾個環
id[v] = cnt++;
}
}
if(cnt == 0)
break; //無環 則break
for( i = 0; i < V; i++)
if(id[i] == -1)
id[i] = cnt++;
//3.建立新圖 縮點,重新標記
for( i = 0; i < E; i++)
{
int u = edge[i].u;
int v = edge[i].v;
edge[i].u = id[u];
edge[i].v = id[v];
if(id[u] != id[v])
edge[i].w -= in[v];
}
V = cnt;
root = id[root];
}
return ret;
}
int main()
{
int i;
while(scanf("%d%d", &n, &m) != EOF)
{
type sum = 0;
for( i = 0; i < m; i++)
{
scanf("%d%d%I64d", &edge[i].u, &edge[i].v, &edge[i].w);
edge[i].u++; edge[i].v++;
sum += edge[i].w;
}
sum ++;
for( i = m; i < m + n; i++)//增加超級節點0,節點0到其余各個節點的邊權相同（此題中 邊權要大於原圖的總邊權值）
{
edge[i].u = 0;
edge[i].v = i - m + 1;
edge[i].w = sum;
}
type ans = Directed_MST(0, n + 1, m + n);
//n+1為總結點數,m+n為總邊數
//ans代表以超級節點0為根的最小樹形圖的總權值,
//將ans減去sum,如果差值小於sum,說明節點0的出度只有1,說明原圖是連通圖
//如果差值>=sum,那么說明節點0的出度不止為1,說明原圖不是連通圖
if(ans == -1 || ans - sum >= sum)
puts("impossible");
else
printf("%I64d %d\n",ans - sum, pos - m);
puts("");
}
return 0;
}