轉自原文 R-Tree空間索引算法的研究歷程和最新進展分析，2008
摘要：本文介紹了空間索引的概念、R-Tree數據結構和R-Tree空間索引的算法描述，並從R-Tree索引技術的優缺點對R-Tree的改進結構——變種R-Tree進行了論述。最后，對R-Tree的最新研究進展進行了分析。
關鍵詞：空間索引技術；R-Tree；研究歷程；最新進展
當前數據搜索的一個關鍵問題是速度。提高速度的核心技術是空間索引。空間索引是由空間位置到空間對象的映射關系。當前的一些大型數據庫都有空間索引能力，像Oracle，DB2。
空間索引技術並不單是為了提高顯示速度，顯示速度僅僅是它所要解決的一個問題。空間索引是為空間搜索提供一種合適的數據結構，以提高搜索速度。
空間索引技術的核心是：根據搜索條件，比如一個矩形，迅速找到與該矩形相交的所有空間對象集合。當數據量巨大，矩形框相對於全圖很小時，這個集合相對於全圖數據集大為縮小，在這個縮小的集合上再處理各種復雜的搜索，效率就會大大提高。
所謂空間索引，就是指依據空間實體的位置和形狀或空間實體之間的某種空間關系，按一定順序排列的一種數據結構，其中包含空間實體的概要信息如對象的標識、外接矩形及指向空間實體數據的指針。簡單的說，就是將空間對象按某種空間關系進行划分，以后對空間對象的存取都基於划分塊進行。
1 引言
空間索引是對存儲在介質上的數據位置信息的描述，用來提高系統對數據獲取的效率。空間索引的提出是由兩方面決定的：其一是由於計算機的體系結構將存貯器分為內存、外存 兩種，訪問這兩種存儲器一次所花費的時間一般為30~40ns，8~10ms，可以看出兩者相差十 萬倍以上，盡管現在有“內存數據庫”的說法，但絕大多數數據是存儲在外存磁盤上的，如果對磁盤上數據的位置不加以記錄和組織，每查詢一個數據項就要掃描整個數據文件，這種訪問磁盤的代價就會嚴重影響系統的效率，因此系統的設計者必須將數據在磁盤上的位置加以記錄和組織，通過在內存中的一些計算來取代對磁盤漫無目的的訪問，才能提高系統的效率，尤其是GIS涉及的是各種海量的復雜數據，索引對於處理的效率是至關重要的。其二是GIS 所表現的地理數據多維性使得傳統的B樹索引並不適用，因為B樹所針對的字符、數字等傳統數據類型是在一個良序集之中，即都是在一個維度上，集合中任給兩個元素，都可以在這個維度上確定其關系只可能是大於、小於、等於三種，若對多個字段進行索引，必須指定各個字段的優先級形成一個組合字段，而地理數據的多維性，在任何方向上並不存在優先級問題，因此B樹並不能對地理數據進行有效的索引，所以需要研究特殊的能適應多維特性的空間索引方式。
1984年Guttman發表了《R樹:一種空間查詢的動態索引結構》，它是一種高度平衡的樹，由中間節點和頁節點組成，實際數據對象的最小外接矩形存儲在頁節點中，中間節點通過聚集其低層節點的外接矩形形成，包含所有這些外接矩形。其后，人們在此基礎上針對不同空間運算提出了不同改進，才形成了一個繁榮的索引樹族，是目前流行的空間索引。
R樹是B樹向多維空間發展的另一種形式，它將空間對象按范圍划分，每個結點都對應一個區域和一個磁盤頁，非葉結點的磁盤頁中存儲其所有子結點的區域范圍，非葉結點的所有子結點的區域都落在它的區域范圍之內；葉結點的磁盤頁中存儲其區域范圍之內的所有空間對象的外接矩形。每個結點所能擁有的子結點數目有上、下限，下限保證對磁盤空間的有效利用，上限保證每個結點對應一個磁盤頁，當插入新的結點導致某結點要求的空間大於一個磁盤頁時，該結點一分為二。R樹是一種動態索引結構，即：它的查詢可與插入或刪除同時進行，而且不需要定期地對樹結構進行重新組織。
2 R-Tree數據結構
R-Tree是一種空間索引數據結構，下面做簡要介紹：
（1）R-Tree是n 叉樹，n稱為R-Tree的扇（fan）。
（2）每個結點對應一個矩形。
（3）葉子結點上包含了小於等於n 的對象，其對應的矩為所有對象的外包矩形。
（4）非葉結點的矩形為所有子結點矩形的外包矩形。
R-Tree的定義很寬泛，同一套數據構造R-Tree，不同方可以得到差別很大的結構。什么樣的結構比較優呢？有兩標准：
（1）位置上相鄰的結點盡量在樹中聚集為一個父結點。
（2）同一層中各兄弟結點相交部分比例盡量小。
R樹是一種用於處理多維數據的數據結構，用來訪問二維或者更高維區域對象組成的空間數據.R樹是一棵平衡樹。樹上有兩類結點：葉子結點和非葉子結點。每一個結點由若干個索引項構成。對於葉子結點，索引項形如(Index，Obj_ID)。其中，Index表示包圍空間數據對象的最小外接矩形MBR，Obj_ID標識一個空間數據對象。對於一個非葉子結點，它的索引項形如(Index，Child_Pointer)。 Child_Pointer 指向該結點的子結點。Index仍指一個矩形區域，該矩形區域包圍了子結點上所有索引項MBR的最小矩形區域。一棵R樹的示例如圖所示：
3 R-Tree算法描述
算法描述如下：
對象數為n，扇區大小定為fan。
（1）估計葉結點數k=n/fan。
（2）將所有幾何對象按照其矩形外框中心點的x值排序。
（3）將排序后的對象分組，每組大小為 *fan，最后一組可能不滿員。
（4）上述每一分組內按照幾何對象矩形外框中心點的y值排序。
（5）排序后每一分組內再分組，每組大小為fan。
（6）每一小組成為葉結點，葉子結點數為nn。
（7）N=nn，返回1。
4 R-Tree空間索引算法的研究歷程
1 R-Tree
多維索引技術的歷史可以追溯到20世紀70年代中期。就在那個時候，諸如Cell算法、四叉樹和k-d樹等各種索引技術紛紛問世，但它們的效果都不盡人意。在GIS和CAD系統對空間索引技術的需求推動下，Guttman於1984年提出了R樹索引結構，發表了《R樹:一種空間查詢的動態索引結構》，它是一種高度平衡的樹，由中間節點和頁節點組成，實際數據對象的最小外接矩形存儲在頁節點中，中間節點通過聚集其低層節點的外接矩形形成，包含所有這些外接矩形。其后，人們在此基礎上針對不同空間運算提出了不同改進，才形成了一個繁榮的索引樹族，是目前流行的空間索引。
2 R+樹
在Guttman的工作的基礎上，許多R樹的變種被開發出來， Sellis等提出了R+樹，R+樹與R樹類似，主要區別在於R+樹中兄弟結點對應的空間區域無重疊，這樣划分空間消除了R樹因允許結點間的重疊而產生的“死區域”（一個結點內不含本結點數據的空白區域），減少了無效查詢數，從而大大提高空間索引的效率，但對於插入、刪除空間對象的操作，則由於操作要保證空間區域無重疊而效率降低。同時R+樹對跨區域的空間物體的數據的存儲是有冗余的，而且隨着數據庫中數據的增多，冗余信息會不斷增長。Greene也提出了他的R樹的變種。
3 R*樹
在1990年，Beckman和Kriegel提出了最佳動態R樹的變種——R*樹。R*樹和R樹一樣允許矩形的重疊，但在構造算法R*樹不僅考慮了索引空間的“面積”，而且還考慮了索引空間的重疊。該方法對結點的插入、分裂算法進行了改進，並采用“強制重新插入”的方法使樹的結構得到優化。但R*樹算法仍然不能有效地降低空間的重疊程度，尤其是在數據量較大、空間維數增加時表現的更為明顯。R*樹無法處理維數高於20的情況。
4 QR樹
QR樹利用四叉樹將空間划分成一些子空間，在各子空間內使用許多R樹索引，從而改良索引空間的重疊。QR樹結合了四叉樹與R樹的優勢，是二者的綜合應用。實驗證明：與R樹相比，QR樹以略大（有時甚至略小）的空間開銷代價，換取了更高的性能，且索引目標數越多，QR樹的整體性能越好。
5 SS樹
SS樹對R*樹進行了改進，通過以下措施提高了最鄰近查詢的性能：用最小邊界圓代替最小邊界矩形表示區域的形狀，增強了最鄰近查詢的性能，減少將近一半存儲空間；SS樹改進了R*樹的強制重插機制。當維數增加到5是，R樹及其變種中的邊界矩形的重疊將達到90％，因此在高維情況（≧5）下，其性能將變的很差，甚至不如順序掃描。
6 X樹
X樹是線性數組和層狀的R樹的雜合體，通過引入超級結點，大大地減少了最小邊界矩形之間的重疊，提高了查詢效率。X樹用邊界圓進行索引，邊界矩形的直徑（對角線）比邊界圓大，SS樹將點分到小直徑區域。由於區域的直徑對最鄰近查詢性能的影響較大，因此SS樹的最鄰近查詢性能優於R*樹；邊界矩形的平均容積比邊界圓小，R*樹將點分到小容積區域；由於大的容積會產生較多的覆蓋，因此邊界矩形在容積方面要優於邊界圓。SR樹既采用了最小邊界圓（MBS），也采用了最小邊界矩形（MBR），相對於SS樹，減小了區域的面積，提高了區域之間的分離性，相對於R*樹，提高了鄰近查詢的性能。
5 R-Tree空間索引算法的最新研究
信息的膨脹使數據庫檢索需要面對的問題越來越多。在構建索引方面，最主要面臨的則是如何構造高效的索引算法來支持各種數據庫系統（比如：多媒體數據庫、空間數據庫等），特別是如何有效的利用算法來實現加速檢索。概括地說，R-Tree空間索引算法的研究要做到：支持高維數據空間；有效分割數據空間，來適應索引的組織；高效的實現多種查詢方式系統中的統一。R-Tree的索引結構最新研究不能是單純為了加速某種查詢方式或提高某個方面的性能，忽略其他方面的效果，這樣可能會造成更多不必要的性能消耗。
XML作為可擴展的標示語言，其索引方法就是基於傳統的R-Tree索引技術的XR-Tree索引方法。該方法構造了適合於XML數據的索引結構。XR-Tree索引方法是一種動態擴充內存的索引數據結構，針對XISS（XML Indexing and Storage System：XML索引和存儲體系）中結構連接中的問題，設計了基於XR-Tree索引樹有效地跳過不參與匹配的元素的連接算法。但這種索引方法在進行路徑的連接運算中仍然存儲大量的中間匹配結果，為此一種基於整體查詢模式的基於索引的路徑連接算法提出，即利用堆棧鏈表來臨時壓棧存儲產生的部分匹配結果，並且隨着匹配的動態進行出棧操作。這樣在查詢連接處理完成以后，直接輸出最終結果，既節省了存儲空間又提高了操作效率。