ACF/PACF，殘差白噪聲的檢驗問題

 

關於自相關、偏自相關：

一、自協方差和自相關系數

      p階自回歸AR(p)

      自協方差 r(t,s)=E[X(t)-EX(t)][X(s)-EX(s)]

      自相關系數ACF=r(s,t)/[(DX(t).DX(s))^0.5]

 

二、平穩時間序列自協方差與自相關系數

      1、平穩時間序列可以定義r(k)為時間序列的延遲k自協方差函數：

           r(k)=r(t,t+k)=E[X(t)-EX(t)][X(t+k)-EX(t+k)]

      2、平穩時間序列的方差相等DX(t)=DX(t+k)=σ2，

            所以DX(t)*DX(t+k)=σ2*σ2，

            所以[DX(t)*DX(t+k)]^0.5=σ2

            而r(0)=r(t,t)=E[X(t)-EX(t)][X(t)-EX(t)]=E[X(t)-EX(t)]^2=DX(t)=σ2

         簡而言之，r(0)就是自己與自己的協方差，就是方差，

         所以，平穩時間序列延遲k的自相關系數ACF等於：

                p(k)=r(t,t+k)/[(DX(t).DX(t+k))^0.5]=r(k)/σ2=r(k)/r(0)

     3、平穩AR(p)的自相關系數具有兩個顯著特征：一是拖尾性；二是呈負指數衰減。

 

 三、偏相關系數

       對於一個平穩AR(p)模型，求出滯后k自相關系數p(k)時，實際上得到並不是x(t)與x(t-k)之間單純的相關關系。因為x(t)同時還會受到中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的影響，而這k-1個隨機變量又都和x(t-k)具有相關關系，所以自相關系數p(k)里實際摻雜了其他變量對x(t)與x(t-k)的影響。

       為了能單純測度x(t-k)對x(t)的影響，引進偏自相關系數的概念。

        對於平穩時間序列{x(t)}，所謂滯后k偏自相關系數指在給定中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的條件下，或者說，在剔除了中間k-1個隨機變量x(t-1)、x(t-2)、……、x(t-k+1)的干擾之后，x(t-k)對x(t)影響的相關程度。用數學語言描述就是：

      p[(x(t),x(t-k)]|(x(t-1),……，x(t-k+1)={E[(x(t)-Ex(t)][x(t-k)-Ex(t-k)]}/E{[x(t-k)-Ex(t-k)]^2}

    這就是滯后k偏自相關系數的定義。

 

1.什么是白噪聲？
答：白噪聲是指功率譜密度在整個頻域內均勻分布的噪聲。白噪聲或白雜訊，是一種功率頻譜密度為常數的隨機信號或隨機過程。換句話說，此信號在各個頻段上的功率是一樣的，由於白光是由各種頻率（顏色）的單色光混合而成，因而此信號的這種具有平坦功率譜的性質被稱作是“白色的”，此信號也因此被稱作白噪聲。相對的，其他不具有這一性質的噪聲信號被稱為有色噪聲。理想的白噪聲具有無限帶寬，因而其能量是無限大，這在現實世界是不可能存在的。實際上，我們常常將有限帶寬的平整訊號視為白噪音，因為這讓我們在數學分析上更加方便。然而，白噪聲在數學處理上比較方便，因此它是系統分析的有力工具。一般，只要一個噪聲過程所具有的頻譜寬度遠遠大於它所作用系統的帶寬，並且在該帶寬中其頻譜密度基本上可以作為常數來考慮，就可以把它作為白噪聲來處理。例如，熱噪聲和散彈噪聲在很寬的頻率范圍內具有均勻的功率譜密度，通常可以認為它們是白噪聲。高斯白噪聲：如果一個噪聲，它的幅度分布服從高斯分布，而它的功率譜密度又是均勻分布的，則稱它為高斯白噪聲。熱噪聲和散粒噪聲是高斯白噪聲。所謂高斯白噪聲中的高斯是指概率分布是正態函數，而白噪聲是指它的二階矩不相關，一階矩為常數，是指先后信號在時間上的相關性。
       高斯白噪聲的概念——"白"指功率譜恆定;高斯指幅度取各種值時的概率p (x)是高斯函數
       高斯噪聲——n維分布都服從高斯分布的噪聲
       高斯分布——也稱正態分布，又稱常態分布。對於隨機變量X，記為N（μ，σ2），分別為高斯分布的期望和方差。當有確定值時，p (x)也就確定了，特別當μ=0，σ2=1時，X的分布為標准正態分布。 

2.為什么殘差要是白噪聲？
答：得到白噪聲序列，就說明時間序列中有用的信息已經被提取完畢了，剩下的全是隨機擾動，是無法預測和使用的，殘差序列如果通過了白噪聲檢驗，則建模就可以終止了，因為沒有信息可以繼續提取。如果殘差不是白噪聲，就說明殘差中還有有用的信息，需要修改模型或者進一步提取。

3.怎樣對白噪聲進行檢驗？
答：白噪聲檢驗的步驟為：打開resid序列，view，correlogram，差分階數選擇level，確定，看q統計量的伴隨p值是不是很大就行了。

4.如何對Q統計量做理解？
答：論壇里有些壇友寫的資料，拿過來一起分享一下：http://bbs.pinggu.org/thread-2120615-1-1.html