[Codeforces]906D Power Tower

　　雖說是一道裸題，但還是讓小C學到了一點姿勢的。

Description

　　給定一個長度為n的數組w，模數m和詢問次數q，每次詢問給定l,r，求：

　　　　

　　對m取模的值。

Input

　　第一行兩個整數n,m，表示數組長度和模數。
　　接下來一行n個數，表示w數組。
　　接下來一行一個整數q，表示詢問次數。
　　接下來q行，每行兩個整數l,r，表示一次詢問。

Output

　　對於每次詢問，輸出一行一個整數表示答案。

Sample Input

　　6 1000000000
　　1 2 2 3 3 3
　　8
　　1 1
　　1 6
　　2 2
　　2 3
　　2 4
　　4 4
　　4 5
　　4 6

Sample Output

　　1
　　1
　　2
　　4
　　256
　　3
　　27
　　597484987

HINT

　　1 ≤ n ≤ 10⁵，1 ≤ m ≤ 10⁹，1 ≤ w_i ≤ 10⁹，1 ≤ q ≤ 10⁵，1 ≤ l ≤ r ≤ n。

 

Solution

　　看到這么清奇的式子，你大概會第一時間想到降冪大法吧？

　　先說說擴展歐拉定理，對於任意正整數a,b,p：

　　　　

　　所以假設堆疊的冪次足夠大，那么式子就可以轉化為：

　　　　　　

　　

　　已知p經過至多2log次phi就會變成1。

　　所以遞歸求解，至多走到2log層模數就會變成1，所以返回0就行。

　　所以這道題就非常顯然了，首先預處理出m的所有phi，對於每個詢問，從l開始直接遞歸暴力，直到模數為1時返回。

　　還有一個問題，在求a^b%p的時候，怎么比較b和phi(p)的大小呢？

　　一種思路就是暴力計算a的后log項的值，注意還要特判1的情況，但這樣寫起來確實麻煩。

　　當然，有一種非常精妙的取模寫法：

int modulo(ll x,int mod) {return x<mod?x:x%mod+mod;}

　　這是在做什么呢？這就是在比較b和phi(p)的大小，如果b<phi(p)，返回b；否則返回b%phi(p)+phi(p)。

　　然后原式就變成了這樣：

　　　　

　　這樣做看上去漏洞百出，可能的情況是，原本我們要計算，其中大等於。

　　然而我們計算，將取模后，卻發現小於了。

　　是否有這種可能呢？

　　其實就相當於判斷是否有可能成立，我們可以發現，當a>2時式子是不可能成立的。

　　所以我們來看一看 是否有可能成立。

　　有可能。

　　當且僅當p=6時，不等式成立。 

　　然而6有什么特殊的性質呢？

　　我們發現phi(x)=6只有三個解：x=7，x=9或x=18。

　　所以接下來我們只要證明   和   即  和  在對x取模的意義下相等即可。（其中phi(x)=6）

　　若a為x的倍數，顯然它們對x取模都等於0，對於答案無影響。

　　當x=7時，，所以 ；

　　當x=9時，若 ，則影響同上；

　　　　　　  若 ，一定有，所以一定有 ，

　　　　　　　　　　　　　  所以一定有 ，對於答案是沒有影響的；

　　當x=18時，若  或 ，則影響同上；

　　　　　　　我們有一個顯然的結論：同余方程  的解為 

　　　　　　　若 ，則 ，則 ，則 

　　　　　　　若 ，則  且 ，則 ，則 

　　所以綜上，我們就證明了該算法的正確性。

　　時間復雜度。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define ll long long
#define MN 100005
using namespace std;
int a[MN],mod[MN];
int n,p;
bool fg;

inline int read()
{
    int n=0,f=1; char c=getchar();
    while (c<'0' || c>'9') {if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while (c>='0' && c<='9') {n=n*10+c-'0'; c=getchar();}
    return n*f;
}

inline int pro(ll x,int md) {return x<md?x:x%md+md;}
inline int mi(int x,int y,int md)
{
    register int z=1;
    for (;y;x=pro(1LL*x*x,md),y>>=1)
        if (y&1) z=pro(1LL*z*x,md);
    return z;
}

int dfs(int x,int y,int lim)
{
    if (x==lim) return a[x]>=mod[y]?a[x]%mod[y]+mod[y]:a[x];
    if (mod[y]==1) return 1;
    return mi(a[x],dfs(x+1,y+1,lim),mod[y]);
}

int main()
{
    register int i,j,x,y;
    n=read(); mod[1]=read();
    for (i=1;mod[i]>1;++i)
    {
        mod[i+1]=x=mod[i];
        for (j=2;j*j<=x;++j)
        {
            for (fg=0;x%j==0;x/=j,fg=true);
            if (fg) mod[i+1]=1LL*mod[i+1]*(j-1)/j;
        }
        if (x>1) mod[i+1]=1LL*mod[i+1]*(x-1)/x;
    }
    for (i=1;i<=n;++i) a[i]=read();
    for (p=read();p;--p)
    {
        x=read(); y=read();
        printf("%d\n",dfs(x,1,y)%mod[1]);
    }
}

Last Word

　　打Codeforces的時候正納悶這種情況該怎么處理，卻發現大佬們清一色都是這么寫的。

　　小C覺得自己的證明蠢得不行啊……

　　如果讀者有更直觀的證明該算法的正確性的方法請務必告訴小C。