前言
- 樹鏈剖分是什么？
樹鏈剖分，說白了就是一種讓你代碼不得不強行增加1k的數據結構-dms
個人理解：+1:joy:
- 有什么用？
證明出題人非常毒瘤
可以非常友(bao)好(li)的解決一些樹上問題:grimacing:
（友情提示：學樹鏈剖分之前請先掌握線段樹）
核心思想
樹鏈剖分的思想比較神奇
它的思想是：把一棵樹拆成若干個不相交的鏈，然后用一些數據結構去維護這些鏈
那么問題來了
- 如何把樹拆成鏈？
首先明確一些定義
重兒子：該節點的子樹中,節點個數最多的子樹的根節點(也就是和該節點相連的點)，即為該節點的重兒子
重邊：連接該節點與它的重兒子的邊
重鏈：由一系列重邊相連得到的鏈
輕鏈：由一系列非重邊相連得到的鏈
這樣就不難得到拆樹的方法
對於每一個節點，找出它的重兒子，那么這棵樹就自然而然的被拆成了許多重鏈與許多輕鏈
- 如何對這些鏈進行維護？
首先，要對這些鏈進行維護，就要確保每個鏈上的節點都是連續的，
因此我們需要對整棵樹進行重新編號，然后利用dfs序的思想，用線段樹或樹狀數組等進行維護（具體用什么需要看題目要求，因為線段樹的功能比樹狀數組強大，所以在這里我就不提供樹狀數組的寫法了）
注意在進行重新編號的時候先訪問重鏈
這樣可以保證重鏈內的節點編號連續
上面說的太抽象了，結合一張圖來理解一下
對於一棵最基本的樹
給他標記重兒子，
藍色為重兒子，紅色為重邊
然后對樹進行重新編號
橙色表示的是該節點重新編號后的序號
不難看出重鏈內的節點編號是連續的
然后就可以在線段樹上搞事情啦
像什么區間加區間求和什么的
另外有一個性質：以$i$為根的子樹的樹在線段樹上的編號為$[i,i+子樹節點數-1]$
接下來結合一道例題，加深一下對於代碼的理解
代碼
樹鏈剖分的裸題
首先來一坨定義
int deep[MAXN];//節點的深度 int fa[MAXN];//節點的父親 int son[MAXN];//節點的重兒子 int tot[MAXN];//節點子樹的大小
第一步
按照我們上面說的，我們首先要對整棵樹dfs一遍，找出每個節點的重兒子
順便處理出每個節點的深度，以及他們的父親節點
int dfs1(int now, int f, int dep) { deep[now] = dep; fa[now] = f; tot[now] = 1; int maxson = -1; for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt) { if (edge[i].v == f) continue; tot[now] += dfs1(edge[i].v, now, dep + 1); if (tot[edge[i].v] > maxson) maxson = tot[edge[i].v], son[now] = edge[i].v; } return tot[now]; }
第二步
然后我們需要對整棵樹進行重新編號
我把一開始的每個節點的權值存在了$b$數組內
void dfs2(int now, int topf) { idx[now] = ++cnt; a[cnt] = b[now]; top[now] = topf; if (!son[now]) return ; dfs2(son[now], topf); for (int i = head[now]; i != -1; i = edge[i].nxt) if (!idx[edge[i].v]) dfs2(edge[i].v, edge[i].v); }
$idx$表示重新編號后該節點的編號是多少
另外，這里引入了一個$top$數組，
$top[i]$表示$i$號節點所在重鏈的頭節點(最頂上的節點)
至於這個數組有啥用，后面再說
第三步
我們需要根據重新編完號的樹，把這棵樹的上每個點映射到線段樹上，
struct Tree { int l, r, w, siz, f; } T[MAXN];
void Build(int k, int ll, int rr) { T[k].l = ll; T[k].r = rr; T[k].siz = rr - ll + 1; if (ll == rr) { T[k].w = a[ll]; return ; } int mid = (ll + rr) >> 1; Build(ls, ll, mid); Build(rs, mid + 1, rr); update(k); }
另外線段樹的基本操作，
這里就不詳細解釋了
直接放代碼
void update(int k) { //更新 T[k].w = (T[ls].w + T[rs].w + MOD) % MOD; }
void IntervalAdd(int k, int ll, int rr, int val) { //區間加 if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) { T[k].w += T[k].siz * val; T[k].f += val; return ; } pushdown(k); int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1; if (ll <= mid) IntervalAdd(ls, ll, rr, val); if (rr > mid) IntervalAdd(rs, ll, rr, val); update(k); } int IntervalSum(int k, int ll, int rr) { //區間求和 int ans = 0; if (ll <= T[k].l && T[k].r <= rr) return T[k].w; pushdown(k); int mid = (T[k].l + T[k].r) >> 1; if (ll <= mid) ans = (ans + IntervalSum(ls, ll, rr)) % MOD; if (rr > mid) ans = (ans + IntervalSum(rs, ll, rr)) % MOD; return ans; } void pushdown(int k) { //下傳標記 if (!T[k].f) return ; T[ls].w = (T[ls].w + T[ls].siz * T[k].f) % MOD; T[rs].w = (T[rs].w + T[rs].siz * T[k].f) % MOD; T[ls].f = (T[ls].f + T[k].f) % MOD; T[rs].f = (T[rs].f + T[k].f) % MOD; T[k].f = 0; }
第四步
我們考慮如何實現對於樹上的操作
樹鏈剖分的思想是:對於兩個不在同一重鏈內的節點,讓他們不斷地跳,使得他們處於同一重鏈上
那么如何"跳”呢？
還記得我們在第二次$dfs$中記錄的$top$數組么？
有一個顯然的結論：$x$到$top[x]$中的節點在線段樹上是連續的，
結合$deep$數組
假設兩個節點為$x$,$y$
我們每次讓$deep[top[x]]$與$deep[top[y]]$中大的(在下面的)往上跳(有點類似於樹上倍增)
讓x節點直接跳到$top[x]$,然后在線段樹上更新
最后兩個節點一定是處於同一條重鏈的，前面我們提到過重鏈上的節點都是連續的，直接在線段樹上進行一次查詢就好
void TreeSum(int x, int y) { //x與y路徑上的和 int ans = 0; while (top[x] != top[y]) { if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y); ans = (ans + IntervalSum(1, idx[ top[x] ], idx[x])) % MOD; x = fa[ top[x] ]; } if (deep[x] > deep[y]) swap(x, y); ans = (ans + IntervalSum(1, idx[x], idx[y])) % MOD; printf("%d\n", ans); } void TreeAdd(int x, int y, int val) { //對於x,y路徑上的點加val的權值 while (top[x] != top[y]) { if (deep[top[x]] < deep[top[y]]) swap(x, y); IntervalAdd(1, idx[ top[x] ], idx[x], val); x = fa[ top[x] ]; } if (deep[x] > deep[y]) swap(x, y); IntervalAdd(1, idx[x], idx[y], val); }
在樹上查詢的這一步可能有些抽象，我們結合一個例子來理解一下
還是上面那張圖，假設我們要查詢$3.6$這兩個節點的之間的點權合，為了方便理解我們假設每個點的點權都是$1$
剛開始時
$top[3]=2,top[6]=1$
$deep[top[3]]=2,deep[top[6]]=1$
我們會讓$3$向上跳,跳到$top[3]$的爸爸,也就是$1$號節點
這是$1$號節點和$6$號節點已經在同一條重鏈內,所以直接對線段樹進行一次查詢即可
對於子樹的操作
這個就更簡單了
因為一棵樹的子樹在線段樹上是連續的
所以修改的時候直接這樣
IntervalAdd(1,idx[x],idx[x]+tot[x]-1,z%MOD);
時間復雜度
(剛開始忘記寫了,這一塊是后來補上的)
性質1
如果邊$\left( u,v\right)$,為輕邊,那么$Size\left( v\right) \leq Size\left( u\right) /2$。
證明：顯然:joy:，否則該邊會成為重邊
性質2
樹中任意兩個節點之間的路徑中輕邊的條數不會超過$\log _{2}n$,重路徑的數目不會超過$\log _{2}n$
證明：不會:stuck_out_tongue_winking_eye:
有了上面兩條性質，我們就可以來分析時間復雜度了
由於重路徑的數量的上界為$\log _{2}n$，
線段樹中查詢/修改的復雜度為$\log _{2}n$
那么總的復雜度就是$\left( \log _{2}n\right) ^{2}$
例題
洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）
樹剖可以求LCA，沒想到吧
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8097366.html
洛谷P2590 [ZJOI2008]樹的統計
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/7157156.html
這份代碼是以前寫的，可能比較丑，下面兩份是剛剛寫的
洛谷P3178 [HAOI2015]樹上操作
http://www.cnblogs.com/zwfymqz/p/8094286.html
洛谷P3038 [USACO11DEC]牧草種植Grass Planting
有點意思