以后講課的時候可以拿來拖時間
解釋都是白色字體...鼠標選中就可以看到了.
簡單無向圖所有點的度數不可能互不相同.
解釋:度數在0到n-1之間,則互不相同的時候所有點的度數依次為0,1,2...n-1,度數為n-1的點和其他所有點都有連邊,則不可能存在度數為0的點
可以對一個簡單無向圖黑白染色,使得對於每個點,與之相連的異色點(如果這個點是白點,那么黑點是異色點)不少於同色點
解釋:所有染色方案中異色點之間連邊最多的方案即為所求.如果這個方案不滿足要求,那么將不符合要求的一個點反色,則異色點之間的邊數變多,這個方案不是異色點之間連邊最多的方案
給出一個3x3的棋盤,在上面放置兩個黑馬,兩個白馬.馬走日字,不考慮蹩馬腿.一個格子只能放置一個棋子,棋子不能到棋盤之外.允許操作任意多次.問局面A能否變成局面B.
局面A:
黑空黑
空空空
白空白
局面B:
黑空白
空空空
白空黑
解釋:當然不能啦.我們給格子標號,建出圖來,發現顯然最中間的一個格子沒有用,而其他所有格子形成一個環.馬在環上的相對順序不變,A中同色馬是相鄰的,B中不同顏色馬相間當然可以爆搜一下但是不覺得這么分析比較優雅嗎
對於一個m行n列的矩陣,求出每一行的最大值,然后找出這些最大值中的最小值p.求出每一列的最小值,然后找出這些最小值中的最大值q,比較p和q的大小.
解釋:
顯然可以取等,令所有數字相等即可.但是所有數字不等也可以構造出p=q,把最大的m個數字放在同一列中,那么這m個數字中的最小值既是p又是q.
接下來我們有:p>=q.
只討論p!=q的情況.如果p和q在同一行:那么p首先是它所在行的最大值,於是p>q.如果在同一列,那么q是它所在列的最小值,於是q<p.
如果既不在同一行也不在同一列,假設p在第i行,q在第j列,那么第i行j列的數字比p小,比q大,通過這個中間量我們可以得到p>q.
綜上,總有p>=q
怎么證明Lucas定理(C(n,m)%p=C(n/p,m/p)C(n%p,m%p)%p,p為質數)
解釋:
考慮二項式定理.
(1+x)^n^ 中x^m^的系數就是C(n,m),
接下來我們把(1+x)^n^拆成[((1+x)^(p)^)^(n/p)^] * [(1+x)^(n%p)^],m同理拆成[((1+x)^(p)^)^(m/p)^] * [(1+x)^(m%p)^]
(1+x)^p^中各項系數依次為C(p,0),C(p,1)...C(p,p).p為質數,0<i<p的時候,C(p,i)%p=p/i*C(p-1,i-1)%p=0.
因為我們是在模p的意義下考慮系數,所以如果某一項的系數可以被p整除我們就可以把這一項扔掉.(也就是把這個多項式對p取模,或者說把各項系數對p取模).
於是得到[(1+x^p^)^(n/p)^] * [(1+x)^(n%p)^].再根據一下帶余除法的性質(p=k*a+b,當0<=b<k的時候a的數值唯一),要想在[(1+x^p^)^(n/p)^] * [(1+x)^(n%p)^]中得到x^m^這一項,必須是[(x^(p)^)^(m/p)^] * [x^(m%p)^]的形式,根據二項式定理這個系數也就是C(n/p,m/p)*C(n%p,m%p),證完啦.
同時我們也可以發現p不為質數時不能用lucas定理的原因是C(p,i)%p不一定為0了,例如C(4,2)%4=6%4=2.
cnblogs的排版有毒....