二、邏輯回歸
1、代價函數
可以將上式綜合起來為：
其中：
為什么不用線性回歸的代價函數表示呢？因為線性回歸的代價函數可能是非凸的，對於分類問題，使用梯度下降很難得到最小值，上面的代價函數是凸函數
的圖像如下，即y=1時：
可以看出，當
趨於1，y=1，與預測值一致，此時付出的代價cost趨於0，若
趨於0，y=1，此時的代價cost值非常大，我們最終的目的是最小化代價值，同理
的圖像如下（y=0）：
2、梯度
同樣對代價函數求偏導：
可以看出與線性回歸的偏導數一致。
推導過程：
3、正則化
正則化的目的為了防止過擬合。在代價函數中加上一項
注意j是從1開始的，因為theta(0)為一個常數項，X中最前面一列會加上一列1，所以乘積還是theta(0)，與feature沒有關系，沒有必要正則化。
正則化后的代價：
1 # 代價函數 2 def costFunction(initial_theta,X,y,inital_lambda): 3 m = len(y) 4 J = 0 5 6 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta)) # 計算h(z) 7 theta1 = initial_theta.copy() # 因為正則化j=1從1開始，不包含0，所以復制一份，前theta(0)值為0 8 theta1[0] = 0 9 10 temp = np.dot(np.transpose(theta1),theta1) 11 J = (-np.dot(np.transpose(y),np.log(h))-np.dot(np.transpose(1-y),np.log(1-h))+temp*inital_lambda/2)/m # 正則化的代價方程 12 return J
正則化后的代價的梯度
1 # 計算梯度 2 def gradient(initial_theta,X,y,inital_lambda): 3 m = len(y) 4 grad = np.zeros((initial_theta.shape[0])) 5 6 h = sigmoid(np.dot(X,initial_theta))# 計算h(z) 7 theta1 = initial_theta.copy() 8 theta1[0] = 0 9 10 grad = np.dot(np.transpose(X),h-y)/m+inital_lambda/m*theta1 #正則化的梯度 11 return grad
4、S型函數（即
）
代碼實現
1 # S型函數 2 def sigmoid(z): 3 h = np.zeros((len(z),1)) # 初始化，與z的長度一置 4 5 h = 1.0/(1.0+np.exp(-z)) 6 return h
5、映射為多項式
因為數據的feature可能很少，導致偏差大，所以創造出一些組合feature
eg:映射為2次方的形式為：
代碼實現：
1 # 映射為多項式 2 def mapFeature(X1,X2): 3 degree = 3; # 映射的最高次方 4 out = np.ones((X1.shape[0],1)) # 映射后的結果數組（取代X） 5 ''' 6 這里以degree=2為例，映射為1,x1,x2,x1^2,x1,x2,x2^2 7 ''' 8 for i in np.arange(1,degree+1): 9 for j in range(i+1): 10 temp = X1**(i-j)*(X2**j) #矩陣直接乘相當於matlab中的點乘.* 11 out = np.hstack((out, temp.reshape(-1,1))) 12 return out
6、使用scipy的優化方法
梯度下降使用scipy中optimize中的fmin_bfgs函數
調用scipy中的優化算法fmin_bfgs(擬牛頓法Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno costFunction是自己實現的一個求代價的函數)，
initial_theta表示初始化的值，
fprime指定costFunction的梯度
args是其余參數，以元組的形式傳入，最后會將最小化costFunction的theta返回
result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,y,initial_lambda))
7、運行結果
data1決策邊界和准確度
data2決策邊界和准確度
8、使用scikit-learn庫中的邏輯回歸模型實現
1 from sklearn.linear_model import LogisticRegression 2 from sklearn.preprocessing import StandardScaler 3 from sklearn.cross_validation import train_test_split 4 import numpy as np 5 6 def logisticRegression(): 7 data = loadtxtAndcsv_data("data1.txt", ",", np.float64) 8 X = data[:,0:-1] 9 y = data[:,-1] 10 11 # 划分為訓練集和測試集 12 x_train,x_test,y_train,y_test = train_test_split(X,y,test_size=0.2) 13 14 # 歸一化 15 scaler = StandardScaler() 16 scaler.fit(x_train) 17 x_train = scaler.fit_transform(x_train) 18 x_test = scaler.fit_transform(x_test) 19 20 #邏輯回歸 21 model = LogisticRegression() 22 model.fit(x_train,y_train) 23 24 # 預測 25 predict = model.predict(x_test) 26 right = sum(predict == y_test) 27 28 predict = np.hstack((predict.reshape(-1,1),y_test.reshape(-1,1))) # 將預測值和真實值放在一塊，好觀察 29 print predict 30 print ('測試集准確率：%f%%'%(right*100.0/predict.shape[0])) #計算在測試集上的准確度 31 32 # 加載txt和csv文件 33 def loadtxtAndcsv_data(fileName,split,dataType): 34 return np.loadtxt(fileName,delimiter=split,dtype=dataType) 35 36 # 加載npy文件 37 def loadnpy_data(fileName): 38 return np.load(fileName) 39 40 if __name__ == "__main__": 41 logisticRegression()
邏輯回歸_手寫數字識別_OneVsAll
1、隨機顯示100個數字
我們沒有使用scikit-learn中的數據集，像素是20*20px，彩色圖如下：
灰度圖為：
代碼實現：
1 # 顯示100個數字 2 def display_data(imgData): 3 sum = 0 4 ''' 5 顯示100個數（若是一個一個繪制將會非常慢，可以將要畫的數字整理好，放到一個矩陣中，顯示這個矩陣即可） 6 - 初始化一個二維數組 7 - 將每行的數據調整成圖像的矩陣，放進二維數組 8 - 顯示即可 9 ''' 10 pad = 1 11 display_array = -np.ones((pad+10*(20+pad),pad+10*(20+pad))) 12 for i in range(10): 13 for j in range(10): 14 display_array[pad+i*(20+pad):pad+i*(20+pad)+20,pad+j*(20+pad):pad+j*(20+pad)+20] = (imgData[sum,:].reshape(20,20,order="F")) # order=F指定以列優先，在matlab中是這樣的，python中需要指定，默認以行 15 sum += 1 16 17 plt.imshow(display_array,cmap='gray') #顯示灰度圖像 18 plt.axis('off') 19 plt.show()
2、OneVsAll
如何利用邏輯回歸解決多分類的問題，OneVsAll就是把當前某一類看成一類，其他所有類別看作一類，這樣就成了二分類問題。如下圖，把途中的數據分成三類，先把紅色的看成一類，把其他的看作另一類，進行邏輯回歸，然后把藍色的看成一類，其他的看成另一類，以此類推。。。
可以看出大於2類的情況下，有多少類就要進行多少次的邏輯回歸分類
3、手寫數字識別
共有0-9，10個數字，需要10次分類
由於數據集y給出的是0，1，2，。。。9的數字，而進行邏輯回歸需要0/1的label標記，所以需要對y處理。
說一下數據集，前500個是0，500-1000是1，...，所以如下圖，處理后的y，前500行的第一列是1，其余都是0，500-1000行第二列是1，其余都是0。。。
然后調用梯度下降算法求解theta
代碼實現：
1 # 求每個分類的theta，最后返回所有的all_theta 2 def oneVsAll(X,y,num_labels,Lambda): 3 # 初始化變量 4 m,n = X.shape 5 all_theta = np.zeros((n+1,num_labels)) # 每一列對應相應分類的theta,共10列 6 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) # X前補上一列1的偏置bias 7 class_y = np.zeros((m,num_labels)) # 數據的y對應0-9，需要映射為0/1的關系 8 initial_theta = np.zeros((n+1,1)) # 初始化一個分類的theta 9 10 # 映射y 11 for i in range(num_labels): 12 class_y[:,i] = np.int32(y==i).reshape(1,-1) # 注意reshape(1,-1)才可以賦值 13 14 #np.savetxt("class_y.csv", class_y[0:600,:], delimiter=',') 15 16 '''遍歷每個分類，計算對應的theta值''' 17 for i in range(num_labels): 18 result = optimize.fmin_bfgs(costFunction, initial_theta, fprime=gradient, args=(X,class_y[:,i],Lambda)) # 調用梯度下降的優化方法 19 all_theta[:,i] = result.reshape(1,-1) # 放入all_theta中 20 21 all_theta = np.transpose(all_theta) 22 return all_theta
4、預測
之前說過，預測的結果是一個概率值，利用學習出來的theta代入預測的S型函數中，每行的最大值就是某個數字的最大概率，所在的列號就是預測的數字的真實值，因為在分類時，所有為0的將y映射在第一列，為1的映射在第二列，以此類推
代碼實現：
1 # 預測 2 def predict_oneVsAll(all_theta,X): 3 m = X.shape[0] 4 num_labels = all_theta.shape[0] 5 p = np.zeros((m,1)) 6 X = np.hstack((np.ones((m,1)),X)) #在X最前面加一列1 7 8 h = sigmoid(np.dot(X,np.transpose(all_theta))) #預測 9 10 ''' 11 返回h中每一行最大值所在的列號 12 - np.max(h, axis=1)返回h中每一行的最大值（是某個數字的最大概率） 13 - 最后where找到的最大概率所在的列號（列號即是對應的數字） 14 ''' 15 p = np.array(np.where(h[0,:] == np.max(h, axis=1)[0])) 16 for i in np.arange(1, m): 17 t = np.array(np.where(h[i,:] == np.max(h, axis=1)[i])) 18 p = np.vstack((p,t)) 19 return p
5、運行結果
10次分類，在訓練集上的准確度：
6、使用scikit-learn庫中的邏輯回歸模型實現
1 #-*- coding: utf-8 -*- 2 from scipy import io as spio 3 import numpy as np 4 from sklearn import svm 5 from sklearn.linear_model import LogisticRegression 6 7 8 9 def logisticRegression_oneVsAll(): 10 data = loadmat_data("data_digits.mat") 11 X = data['X'] # 獲取X數據，每一行對應一個數字20x20px 12 y = data['y'] # 這里讀取mat文件y的shape=(5000, 1) 13 y = np.ravel(y) # 調用sklearn需要轉化成一維的(5000,) 14 15 model = LogisticRegression() 16 model.fit(X, y) # 擬合 17 18 predict = model.predict(X) #預測 19 20 print u"預測准確度為：%f%%"%np.mean(np.float64(predict == y)*100) 21 22 # 加載mat文件 23 def loadmat_data(fileName): 24 return spio.loadmat(fileName) 25 26 if __name__ == "__main__": 27 logisticRegression_oneVsAll()