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作者：汪毅雄
導語：本文詳細的解釋了機器學習中，經常會用到數據清洗與特征提取的方法PCA，從理論、數據、代碼三個層次予以分析。
機器學習，這個名詞大家都耳熟能詳。雖然這個概念很早就被人提出來了，但是鑒於科技水平的落后，一直發展的比較緩慢。但是，近些年隨着計算機硬件能力的大幅度提升，這一概念慢慢地回到我們的視野，而且發展速度之快令很多人刮目相看。尤其這兩年，阿法狗在圍棋屆的神勇表現，給人在此領域有了巨大的遐想空間。
所謂機器學習，一般專業一點的描述其是：機器學習(Machine Learning, ML)是一門多領域交叉學科，涉及概率論、統計學、逼近論、凸分析、算法復雜度理論等多門學科。專門研究計算機怎樣模擬或實現人類的學習行為，以獲取新的知識或技能，重新組織已有的知識結構使之不斷改善自身的性能。
機器學習這門技術是多種技術的結合。而在這個結合體中，如何進行數據分析處理是個人認為最核心的內容。通常在機器學習中，我們指的數據分析是，從一大堆數據中，篩選出一些有意義的數據，推斷出一個潛在的可能結論。得出這個不知道正確與否的結論，其經過的步驟通常是：
1、預處理：把數據處理成一些有意義的特征，這一步的目的主要是為了降維。
2、建模：這部分主要是建立模型（通常是曲線的擬合），為分類器搭建一個可能的邊界。
3、分類器處理：根據模型把數據分類，並進行數據結論的預測。
本文講的主要是數據的預處理（降維），而這里采用的方式是PCA。
PCA的個人理論分析：
假設有一個學生信息管理系統，里面需要存儲人性別的字段，我們在數據庫里可以有M、F兩個字段，用1、0分別代表是、否。當是男學生的時候其中M列為1，F列為0，為女生時M列為0，F列為1。我們發現，對任意一條記錄，當M為1，F必然為0，反之也是如此。因此實際過程，我們把M列或F列去掉也不會丟失任何信息，因為我們可以反推出結論。這種情況下的M、F列的關聯比是最高的，是100%。
再舉另外一個例子，小明開了家店鋪，他每天在統計其店鋪的訪問量V和成交量D。可以發現，往往V多的時候，D通常也多。D少的時候，V通常也很少。可以猜到V和D是有種必然的聯系，但又沒有絕對的聯系。此時小明如果想根據V、D來衡量這一天的價值，往往可以根據一些歷史數據來計算出V、D的關聯比。拍腦門說一個，如果關聯比大於80%，那么可以取VD其中任意一個即可衡量當天價值。這樣就達到了降維的效果。
當然降維並非只能在比如說2維數據[V，D]中選取其中的1維[V]作為特征值，它有可能是在V+D的情況下，使得對[V, D]的關聯比最大。
但是PCA思想就是如此。簡單點說：假設有x1、x2、x3…xn維數據，我們想把數據降到m維，我們可以根據這n維的歷史數據，算出一個與x1…xn相關m維數據，使得這個m維數據對歷史數據的關聯比達到最大。
數學分析
假設我們有一組二維數據
如果我們必須使用一維來表示這些數據，又希望盡量保留原始的信息，你要如何選擇？
這個問題實際上是要在二維平面中選擇一個方向，將所有數據都投影到這個方向所在直線上，用投影值表示原始記錄。這是一個實際的二維降到一維的問題。
那么如何選擇這個方向才能盡量保留最多的原始信息呢？一種直觀的看法是：希望投影后的投影值盡可能分散，這樣投影的范圍越大，在做分類的時候也就更容易做分類器。
以上圖為例，可以看出如果向x軸投影，那么最左邊的兩個點會重疊在一起，中間的兩個點也會重疊在一起，於是本身四個各不相同的二維點投影后只剩下兩個不同的值了，這是一種嚴重的信息丟失。同理，如果向y軸投影中間的三個點都會重疊，效果更糟。所以看來x和y軸都不是最好的投影選擇。直觀來看，如果向通過第一象限和第三象限的斜線投影，則五個點在投影后還是可以區分的。
我們希望投影后投影值盡可能分散，那什么是衡量分散程度的統計量呢，顯然可以用數學上的方差來表述。
通常，為了方便計算，我們會把每個點都減去均值，這樣得到的點的均值就會為0.這個過程叫做均一化。均一化后：
於是上面的問題被形式化表述為：尋找一個基，使得所有數據變換為這個基上的坐標表示后，方差值最大。
我們跳出剛才的例子，因為很容易把剛才的結論推廣到任意緯度。要求投影點的方差最大值所對應的基u，這時有兩種方法來求解：
方法一：
假設有個投影A： 
顯然剛才說的方差V可以用來表示：
而投影A = 原始數據X . U；
這樣方差可以表示為： 
求這個方差的最大值，我們可以用拉格朗日插值法來做
L（u，λ）為： 
求導L’： 
令導數為0： 
這樣問題就轉換成求X.XT的特征值和特征向量，問題就迎刃而解了。
同時我們可以知道，特征值和特征向量有很多個，當λ最大的時候所對應的特征向量，我們把它叫作主成份向量。如果需要將m降維為n，只需要去前n大的特征值所對應的特征向量即可。
方法二：
對於上面二維降成一維的問題來說，找到那個使得方差最大的方向就可以了。不過對於更高維，首先我們希望找到一個方向（基）使得投影后方差最大，當我們找第二個方向（基）的時候，為了最大可能還原多的信息，我們顯然不希望第二個方向與第一個方向有重復的信息。這個從向量的角度看，意味這一個向量在另一個向量的投影必須為0.
這就有：
這時候我們思路就很明了：將一組N維向量降為K維（K大於0，小於N），其目標是選擇K個單位（模為1）正交基，使得原始數據變換到這組基上后，各字段兩兩間協方差為0，而字段本身的方差則盡可能大。
還是假設我們原始數據為A
我們做一個處理
A.AT得到：
我們發現要是能找到一個基使得這個矩陣變成一個，除了斜對角外，其余全是0的話，那這個基就是我們需要的基。那么問題就轉換成矩陣的對角化了。
先說一個先驗知識：
在線性代數上，我們可以知道實對稱矩陣不同特征值對應的特征向量必然正交。對一個n行n列的實對稱矩陣一定可以找到n個單位正交特征向量，設這n個特征向量為e1,e2,⋯,en。
組合成矩陣的形式如圖：
由上結論又有一個新的結論就是，對於實對稱矩陣A，它的特征向量矩陣為E，必然滿足：
有了這個先驗知識，我們假設原始數據A，基為U，投影后的數據為Y。則有Y=UA。根據上面所說的要是投影后的矩陣Y的
Y.YT為一個對角陣，那么就有：
要是
Y.YT為對角陣，那么只需要U是
A.AT的特征向量即可，那么問題最終還是轉換為求AAT的特征向量。
代碼實現：
剛才說了兩種PCA的計算思路，我們簡單看下代碼的實現吧，由於matlab自帶了求特征向量的函數，這邊使用matlab進行模擬。
我們用測試數據試試：
當我們只保留0.5的成分時，newA從3維降到1維，當進行還原時，准確性也會稍微差些
當我們保留0.9的成分時，newA從3維降到2維，當進行還原時，還原度會稍微好些。
當我們保留0.97的成分時，就無法降維了。這時候就可以100%還原了。
總結一下：
我們在做機器學習的數據分析的時候，由於數據集的維度可能很高，這時候我們需要對數據進行降維。本文從各個方向介紹了一下降維的經典方法PCA，也從代碼的角度告訴了怎么降維的過程。實際操作可能會比較簡單，但是原理個人覺得還是有學習的地方的。