插值法（內插法）

今天做題需要用到插值法, 就簡單入門了一下, 同時記了一點淺顯的東西於此。

定理

對於給定的 N+1 個點，存在唯一一個最高項次數不超過 N 的多項式 Y=P(X)其圖像經過這N+1個點。

作用

求出的插值函數P(X)用於估計原函數F[X]。

(但如果原函數可以由多項式表示(既不是一個相關函數),且告訴了圖像上其最高次項次數+1個點，就可以通過插值法得出該函數F[x],即求得的插值函數P[x]=F[x])

求法（對於給定的一組N+1個點(X₀,y₀),(X₁,y₁)......(X_N,Y_N)）

1.直接法

設出N次方程，得到N+1個線性方程，求解出多項式的系數即可。

（高斯消元哦，N³哦，很慢哦）

2.拉格朗日插值法(可以叫它構造法么？)

先構造出一組(N+1個)基函數 l₀(X) , l₁(X) , ...... , l_N(X)

使得 l_i (X)只經過(X_i , 1)，且在X=X_j ( j ≠ i )時，l_i (X_j)=0。

l_i(X)的構造如上。

顯然，上式在 X=X_j ( j ≠ i )時，l_i ( X_j )=0

同時在 X=X_i 時，l_i(X_i)=1，即 y_i l_i ( X_i )=y_i

然后插值函數 P(X)即為 y_i l_i ( X ) 的線性相加：

即 P(X)=y₀ l₀ ( X )+y₁ l₁ ( X )+y₂ l₂ ( X )+……+y_N l_N ( X )

以下四個點為例：

P(X)即為我們所求的函數。

復雜度O(N²)

想要了解更多的話就看看這里：★