spfa判斷負環

spfa判斷負環

給出T組數據，其中有一個n點m邊的圖，問每個數據是否存在負環。N,M,|w|≤200 000。

spfa如何判斷負環呢？只要枚舉每一個點，然后dfs/bfs更新即可，具體看代碼。

它的基本思想是：如果找到一個點x，能更新自己，那么就存在負環。然而有這樣一種情況：由於\(dis+v<dis\)才能更新的限制，可能點X更新到Y就卡住，然后放棄更新了。那么這種情況是否會錯呢？

答案是否，因為Y這個點肯定已經找過環了。關於spfa的論文解釋過原因：

在測試中筆者還注意到Dfs不管是否存在正環，效果都很好，這可能會讓有些讀者感到納悶，按照他們的理解，沒有找出正環意味着SPFA算法結束，也就是已經求出最短(長)路，但為什么上文使用Dfs求最短路的效率並沒有如此高呢？
這是因為查找正環和求最短路是有區別的。找環時初值應全部賦為0，這將會減少大量無用的計算，效率自然高了不少。有些讀者便會懷疑賦初值為0的正確性，會不會由於初值相同而找不到正環，其實這是可以證明的。
首先假設初始時存在一個點s，從該點出發我們能找到正環。下面證明對環上某個點x的重賦值不會對正環的查找產生影響。
假設x在環上的前驅為y。本來在尋找正環時dis[y]+w(y,x)>dis[x]，然后繼續從x開始迭代。而如果dis[x]被重賦值了dis[x]’>=dis[y]+w(y,x)，看似迭代到x時就停止了，但其實當x之前被賦為dis[x]’時，就已經可以從x開始繼續在環上迭代了，也不需要再從y過渡到x。兩者並無區別。依次類推，必然可以找到一個導致正環的起點。
而開始的假設則顯然成立，否則我們可以把該正環分成若干段，每段的邊權和<=0，與正環的前提矛盾，由此命題得證。

#include <cctype>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;

const int maxn=2e5+5, maxm=2e5+5;

int getint(){
    char c; int flag=1, re=0;
    for (c=getchar(); !isdigit(c); c=getchar())
        if (c=='-') flag=-1;
    for (re=c-48; c=getchar(), isdigit(c); re=re*10+c-48);
    return re*flag;
}

struct Graph{
    struct Edge{
        int to, next, v; Graph *bel;
        inline int operator *(){ return to; }
        Edge& operator ++(){
            return *this=bel->edge[next]; }
    };
    void reset(){
        cntedge=0; memset(fir, 0, sizeof(fir)); }
    void addedge(int x, int y, int v){
        Edge &e=edge[++cntedge];
        e.to=y; e.next=fir[x]; e.v=v;
        e.bel=this; fir[x]=cntedge;
    }
    Edge& getlink(int x){ return edge[fir[x]]; }
    Edge edge[maxm*2];
    int cntedge, fir[maxn];
}g;

int T, n, m, dis[maxn], visit[maxn]; bool flag;

void spfa(int now){
    Graph::Edge e=g.getlink(now);
    visit[now]=1; if (flag) return;
    for (; *e; ++e)
        if (dis[now]+e.v<dis[*e]){
            dis[*e]=dis[now]+e.v;
            if (visit[*e]) flag=true;
            else spfa(*e);
        }
    visit[now]=0;
}

int main(){
    T=getint(); int x, y, v;
    while (T--){
        g.reset(); flag=false;
        n=getint(); m=getint();
        for (int i=1; i<=m; ++i){
            x=getint(); y=getint(); v=getint();
            g.addedge(x, y, v);
            if (v>=0) g.addedge(y, x, v);
        }
        for (int i=1; i<=n; ++i) dis[i]=visit[i]=0; 
      	//不能設置成inf，不然就退化成n^2算法了
        for (int i=1; i<=n; ++i) spfa(i); //不能判斷是否訪問過！
        if (flag) printf("YE5\n");
        else printf("N0\n");
    }
    return 0;
}