import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import cv2
%matplotlib inline
首先讀入這次需要使用的圖像
img = cv2.imread('apple.jpg',0) #直接讀為灰度圖像
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.show()
使用numpy帶的fft庫完成從頻率域到空間域的轉換。
f = np.fft.fft2(img)
fshift = np.fft.fftshift(f)
低通濾波器
低通濾波器的公式如下
\[H(u,v)= \begin{cases} 1, & \text{if $D(u,v)$ } \leq D_{0}\\ 0, & \text{if $D(u,v)$} \geq D_{0} \end{cases} \]
其中\(D(u,v)\)為頻率域上\((u,v)\)點到中心的距離，\(D_0\)由自己設置
白點就是所允許通過的頻率范圍
3d圖像如下
我們先把蘋果轉化成頻率域看下效果
#取絕對值：將復數變化成實數
#取對數的目的為了將數據變化到0-255
s1 = np.log(np.abs(fshift))
plt.subplot(121),plt.imshow(s1,'gray')
plt.title('Frequency Domain')
plt.show()
matplotlib對於不是uint8的圖像會自動把圖像的數值縮放到0-255上，更多可以查看對該問題的討論
我們在頻率域上試着取不同的\(d_0\)再將其反變換到空間域看下效果
def make_transform_matrix(d,image):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
if dis <= d:
transfor_matrix[i,j]=1
else:
transfor_matrix[i,j]=0
return transfor_matrix
d_1 = make_transform_matrix(10,fshift)
d_2 = make_transform_matrix(30,fshift)
d_3 = make_transform_matrix(50,fshift)
設定距離分別為10,30，50其通過的頻率的范圍如圖
plt.subplot(131)
plt.axis("off")
plt.imshow(d_1,cmap="gray")
plt.title('D_1 10')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.title('D_2 30')
plt.imshow(d_2,cmap="gray")
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.title("D_3 50")
plt.imshow(d_3,cmap="gray")
plt.show()
img_d1 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_1)))
img_d2 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_2)))
img_d3 = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_3)))
plt.subplot(131)
plt.axis("off")
plt.imshow(img_d1,cmap="gray")
plt.title('D_1 10')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.title('D_2 30')
plt.imshow(img_d2,cmap="gray")
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.title("D_3 50")
plt.imshow(img_d3,cmap="gray")
plt.show()
講上面過程整理得到頻率域低通濾波器的代碼如下
def lowPassFilter(image,d):
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)
def make_transform_matrix(d):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
if dis <= d:
transfor_matrix[i,j]=1
else:
transfor_matrix[i,j]=0
return transfor_matrix
d_matrix = make_transform_matrix(d)
new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))
return new_img
plt.imshow(lowPassFilter(img,60),cmap="gray")
高通濾波器
高通濾波器同低通濾波器非常類似，只不過二者通過的波正好是相反的
\[H(u,v)= \begin{cases} 0, & \text{if $D(u,v)$ } \leq D_{0}\\ 1, & \text{if $D(u,v)$} \geq D_{0} \end{cases} \]
def highPassFilter(image,d):
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)
def make_transform_matrix(d):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
if dis <= d:
transfor_matrix[i,j]=0
else:
transfor_matrix[i,j]=1
return transfor_matrix
d_matrix = make_transform_matrix(d)
new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))
return new_img
img_d1 = highPassFilter(img,10)
img_d2 = highPassFilter(img,30)
img_d3 = highPassFilter(img,50)
plt.subplot(131)
plt.axis("off")
plt.imshow(img_d1,cmap="gray")
plt.title('D_1 10')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.title('D_2 30')
plt.imshow(img_d2,cmap="gray")
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.title("D_3 50")
plt.imshow(img_d3,cmap="gray")
plt.show()
顯然當\(D_0=10\)時，蘋果的邊緣最清楚
不同濾波的比較
import imagefilter
thread_img = imagefilter.RobertsAlogrithm(img)
laplace_img = imagefilter.LaplaceAlogrithm(img,"fourfields")
mean_img = cv2.blur(img,(3,3))
plt.subplot(131)
plt.imshow(thread_img,cmap="gray")
plt.title("ThreadImage")
plt.axis("off")
plt.subplot(132)
plt.imshow(laplace_img,cmap="gray")
plt.axis("off")
plt.title("LaplaceImage")
plt.subplot(133)
plt.imshow(mean_img,cmap="gray")
plt.title("meanImage")
plt.axis("off")
plt.show()
空間域上的平均濾波和低通濾波一樣，只要起去掉無關信息，平滑圖像的作用。
Roberts，Laplace等濾波則起的提取邊緣的作用。
頻率域高通濾波器
高斯高通濾波器
頻率域高斯高通濾波器的公式如下
\[H(u,v) = 1-e^{\dfrac{-D^2(u,v)}{2D_0^2}} \]
def GaussianHighFilter(image,d):
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)
def make_transform_matrix(d):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
transfor_matrix[i,j] = 1-np.exp(-(dis**2)/(2*(d**2)))
return transfor_matrix
d_matrix = make_transform_matrix(d)
new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))
return new_img
使用高斯濾波器d分別為10,30,50實現的效果
img_d1 = GaussianHighFilter(img,10)
img_d2 = GaussianHighFilter(img,30)
img_d3 = GaussianHighFilter(img,50)
plt.subplot(131)
plt.axis("off")
plt.imshow(img_d1,cmap="gray")
plt.title('D_1 10')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.title('D_2 30')
plt.imshow(img_d2,cmap="gray")
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.title("D_3 50")
plt.imshow(img_d3,cmap="gray")
plt.show()
高斯低通濾波器
頻率域高斯低通濾波器的公式如下
\[H(u,v) = e^{\dfrac{-D^2(u,v)}{2D_0^2}} \]
def GaussianLowFilter(image,d):
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)
def make_transform_matrix(d):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
transfor_matrix[i,j] = np.exp(-(dis**2)/(2*(d**2)))
return transfor_matrix
d_matrix = make_transform_matrix(d)
new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))
return new_img
img_d1 = GaussianLowFilter(img,10)
img_d2 = GaussianLowFilter(img,30)
img_d3 = GaussianLowFilter(img,50)
plt.subplot(131)
plt.axis("off")
plt.imshow(img_d1,cmap="gray")
plt.title('D_1 10')
plt.subplot(132)
plt.axis("off")
plt.title('D_2 30')
plt.imshow(img_d2,cmap="gray")
plt.subplot(133)
plt.axis("off")
plt.title("D_3 50")
plt.imshow(img_d3,cmap="gray")
plt.show()
空間域的高斯濾波
通常空間域使用高斯濾波來平滑圖像，在上一篇已經寫過，直接使用上篇文章的代碼。
def GaussianOperator(roi):
GaussianKernel = np.array([[1,2,1],[2,4,2],[1,2,1]])
result = np.sum(roi*GaussianKernel/16)
return result
def GaussianSmooth(image):
new_image = np.zeros(image.shape)
image = cv2.copyMakeBorder(image,1,1,1,1,cv2.BORDER_DEFAULT)
for i in range(1,image.shape[0]-1):
for j in range(1,image.shape[1]-1):
new_image[i-1,j-1] =GaussianOperator(image[i-1:i+2,j-1:j+2])
return new_image.astype(np.uint8)
new_apple = GaussianSmooth(img)
plt.subplot(121)
plt.axis("off")
plt.title("origin image")
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.subplot(122)
plt.axis("off")
plt.title("Gaussian image")
plt.imshow(img,cmap="gray")
plt.subplot(122)
plt.axis("off")
plt.show()
巴特沃斯濾波器
無論是低通濾波器，高通濾波器都是粗暴的一刀切，正如之前那么多空間域的濾波器一樣，我們希望它通過的頻率和與中心線性相關。
\[h(u,v) = \frac{1} {{1+(D_0 / D(u,v))}^{2n}} \]
def butterworthPassFilter(image,d,n):
f = np.fft.fft2(image)
fshift = np.fft.fftshift(f)
def make_transform_matrix(d):
transfor_matrix = np.zeros(image.shape)
center_point = tuple(map(lambda x:(x-1)/2,s1.shape))
for i in range(transfor_matrix.shape[0]):
for j in range(transfor_matrix.shape[1]):
def cal_distance(pa,pb):
from math import sqrt
dis = sqrt((pa[0]-pb[0])**2+(pa[1]-pb[1])**2)
return dis
dis = cal_distance(center_point,(i,j))
transfor_matrix[i,j] = 1/((1+(d/dis))**n)
return transfor_matrix
d_matrix = make_transform_matrix(d)
new_img = np.abs(np.fft.ifft2(np.fft.ifftshift(fshift*d_matrix)))
return new_img
plt.subplot(231)
butter_100_1 = butterworthPassFilter(img,100,1)
plt.imshow(butter_100_1,cmap="gray")
plt.title("d=100,n=1")
plt.axis("off")
plt.subplot(232)
butter_100_2 = butterworthPassFilter(img,100,2)
plt.imshow(butter_100_2,cmap="gray")
plt.title("d=100,n=2")
plt.axis("off")
plt.subplot(233)
butter_100_3 = butterworthPassFilter(img,100,3)
plt.imshow(butter_100_3,cmap="gray")
plt.title("d=100,n=3")
plt.axis("off")
plt.subplot(234)
butter_100_1 = butterworthPassFilter(img,30,1)
plt.imshow(butter_100_1,cmap="gray")
plt.title("d=30,n=1")
plt.axis("off")
plt.subplot(235)
butter_100_2 = butterworthPassFilter(img,30,2)
plt.imshow(butter_100_2,cmap="gray")
plt.title("d=30,n=2")
plt.axis("off")
plt.subplot(236)
butter_100_3 = butterworthPassFilter(img,30,3)
plt.imshow(butter_100_3,cmap="gray")
plt.title("d=30,n=3")
plt.axis("off")
plt.show()
可以明顯的觀察出過大的n造成的振鈴現象
butter_5_1 = butterworthPassFilter(img,5,1)
plt.imshow(butter_5_1,cmap="gray")
plt.title("d=5,n=3")
plt.axis("off")
plt.show()
