作者：LLLBK
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來源：知乎
著作權歸作者所有，轉載請聯系作者獲得授權。
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知乎相關領域的大神已經很多了，但是大神好像不太能脫離術語說話，並且沒有人提到羅素本人的解決方案——類型論。所以還是答一下。
我的回答分三部分：澄清羅素悖論的一些誤解，以ZF系統為例說明公理集合論如何避免羅素悖論，不精確的介紹羅素本人提出的類型論。
首先真的想澄清一點：
羅素悖論不等於理發師悖論！理發師悖論嚴重誤導了沒有相關知識背景的人！
為什么這么說？理發師悖論中定義了一個這樣的理發師：只給那些不給自己理發的人理發，然后分析“他應不應該給自己理發”這個問題，最后得出：“他應該給自己理發”等價於“他不應該給自己理發”。而這是一個矛盾。
但是想想看，以上論證過程不正是一個歸謬論證么？從一定的前提出發，經由邏輯推演最終得出矛盾的結論，這不就是歸謬法嗎？而歸謬法說明了什么？不就是說明了這種理發師根本就不能存在嘛。所以 理發師悖論實際上是在告訴我們，這樣的理發師是不存在的。這有什么問題嗎？並沒有啊！這算什么問題，這就能帶來數學危機？開什么玩笑。
我們再看羅素悖論：首先定義一個性質P："不屬於自己"，然后定義一個集合S，這個S就是滿足P的那些集合構成的集合，也就是問題敘述中的“全體非本身分子集合構成的集合”。那么類似理發師悖論，我們就會發現，用歸謬法可以證明這個S並不存在。So far so good. 這個S不存在又有什么關系？
還真有關系，因為素朴集合論有一條 概括規則：
既然出現了矛盾的結果，那就正好說明了概括規則是有問題的，是有內在矛盾的。換句話說， 理發師悖論只不過是羅素悖論證明過程中的一個部分，它用“S屬不屬於自身”這個矛盾證明了S不可能存在。然后我們再用概括規則證明了S必須存在，這個“S存不存在”的矛盾說明了概括規則的內在矛盾性，導致了素朴集合論的崩潰。所以請不要再拿理發師悖論來類比羅素悖論了，一個小小的理發師不存在並不能導致數學危機。
啰啰嗦嗦了半天還沒進入正題，只是希望澄清一下許多人對羅素悖論的誤解。
公理集合論的進路（ ZF(C) , NBG(C) , ...）
素朴集合論推出了邏輯矛盾，邏輯矛盾難道還能解決？顯然不能，我們只能放棄素朴集合論。但是素朴集合論之前是作為整個數學的基礎存在的啊，放棄了之后總不能撒手不管了，肯定得提一套新的理論出來作為數學的基礎。這里有幾種進路，其中一種就是其它答案中提到的公理化集合論的進路，也是主流的進路。
需要注意到，用理發師悖論式的證明來得出S不存在，這是不需要依靠集合論本身的，只需要用最基礎的邏輯就夠了，因此不管你集合論長什么樣子，反正“S不存在”是必然為真的。
我們需要做的是，構造一個新的集合論，使得這個集合論本身也能推出“S不存在”，而不是像素朴集合論的概括規則一樣推出“S存在”。這才是我們的最終目標。下面都是在圍繞這個目標。
素朴集合論除了概括規則以外，其它的很大一部分都挺好的，總不能全盤否定。所以大家覺得應該改進而不是拋棄。改進的辦法就是，對集合做出各種限制，從而避免出現羅素悖論那種情況。下面以ZF系統為例，用人話說一下究竟是怎么避免了羅素悖論。我們需要證明的是，ZF系統無法推出“S存在”，那么矛盾自然就消除了，根據理發師悖論的歸謬證明，就可以得出S不存在了。
ZF系統是一個純粹的公理系統，它的公理模式規定了集合的一些性質，以及如何從已有的集合產生新的集合。通過這些公理來達到對集合做出限制的目的。有一條公理叫 “分離公理”跟概括規則長得很像，它說的是：
還有一條公理叫 正則公理：
還有一條 xx公理保證了，如果x是集合，那么{x}也是集合，這條公理具體名字我不記得了...
下面寫一下ZF系統避免羅素悖論的通俗版（說了是通俗版就不要噴不嚴謹了吧）：
對於任意x，根據 xx公理，可得{x}也是集合。由於{x}是集合，所以根據 正則公理，{x}里面有一個元素跟{x}本身交集為空，但是{x}里面只有一個元素x，也就是說x跟{x}不相交，
，也就是說x不是自己的元素。因此，
。
而羅素悖論里定義的那個S是什么？就是所有不屬於自己的集合構成的嘛，既然每個集合都不屬於自己，那么S就是所有集合構成的集合，也就是大全集。但是根據 分離公理，要想通過性質P定義出一個集合，必須從已有的集合里面分離出來，但是哪個集合能分得出大全集啊...顯然，沒有一個集合有這樣的本事可以分離出一個大全集。所以，根據公理集合論可以推出：大全集S（也就是羅素悖論里的那個S）是不會存在的，既然S不存在，那么就不會產生羅素悖論中關於“S存不存在”的矛盾，因此就避免了矛盾。
嚴謹的證明版本如下：
假設存在大全集，那么對性質“
”應用分離公理，就可以得到
是一個集合，但是經過分析可知
當且僅當
，發生矛盾，因此假設錯誤，大全集不存在。而S其實就是大全集本身，因此S也不存在。因此不會產生羅素悖論中關於“S存不存在”的矛盾。證畢。
類型論的進路
（有更新，因為之前我自己對類型論的理解有偏差）
上面是ZF系統的解決方案。公理集合論的方案是主流方案，但其實羅素本人也想出來了一個方案——類型論，不知道為什么所有的答案都沒有提到，雖然類型論確實不是主流，但好歹是羅素本人提出來的，給個面子也應該介紹一下啊......
我們先跑個題，看看說謊者悖論：這句話是謊話。
這句話之所以成為悖論，是因為它描述的對象正好是它本身，它在試圖談論自己本身的性質。
理發師悖論其實也來源於這種 自指——理發師說的話里面包含了
我的回答分三部分：澄清羅素悖論的一些誤解，以ZF系統為例說明公理集合論如何避免羅素悖論，不精確的介紹羅素本人提出的類型論。
首先真的想澄清一點：
羅素悖論不等於理發師悖論！理發師悖論嚴重誤導了沒有相關知識背景的人！
為什么這么說？理發師悖論中定義了一個這樣的理發師：只給那些不給自己理發的人理發，然后分析“他應不應該給自己理發”這個問題，最后得出：“他應該給自己理發”等價於“他不應該給自己理發”。而這是一個矛盾。
但是想想看，以上論證過程不正是一個歸謬論證么？從一定的前提出發，經由邏輯推演最終得出矛盾的結論，這不就是歸謬法嗎？而歸謬法說明了什么？不就是說明了這種理發師根本就不能存在嘛。所以 理發師悖論實際上是在告訴我們，這樣的理發師是不存在的。這有什么問題嗎？並沒有啊！這算什么問題，這就能帶來數學危機？開什么玩笑。
我們再看羅素悖論：首先定義一個性質P："不屬於自己"，然后定義一個集合S，這個S就是滿足P的那些集合構成的集合，也就是問題敘述中的“全體非本身分子集合構成的集合”。那么類似理發師悖論，我們就會發現，用歸謬法可以證明這個S並不存在。So far so good. 這個S不存在又有什么關系？
還真有關系，因為素朴集合論有一條 概括規則：
對於任何一個合理的性質P，都存在一個集合來刻畫它，這個集合由所有滿足P的對象構成。（合理的，指的是外延明確的，也就是我隨便找一個東西一定可以判斷它有還是沒有這個性質，不會出現既有這個性質又沒有這個性質的情況，也就是任意a，要么Pa要么比如“是大寫英文字母”這一性質就可以確保{A, B,..., Z}這個集合是存在的。這條概括規則可以說是素朴集合論最基礎的規則之一。回過頭來看羅素悖論里的那個性質P，它顯然是合理的性質，那么 根據概括規則S就必須存在，但是歸謬法已經證明了S不可能存在，這里出現了關於S存不存在的矛盾。這個矛盾才導致了羅素悖論。Pa。）
既然出現了矛盾的結果，那就正好說明了概括規則是有問題的，是有內在矛盾的。換句話說， 理發師悖論只不過是羅素悖論證明過程中的一個部分，它用“S屬不屬於自身”這個矛盾證明了S不可能存在。然后我們再用概括規則證明了S必須存在，這個“S存不存在”的矛盾說明了概括規則的內在矛盾性，導致了素朴集合論的崩潰。所以請不要再拿理發師悖論來類比羅素悖論了，一個小小的理發師不存在並不能導致數學危機。
啰啰嗦嗦了半天還沒進入正題，只是希望澄清一下許多人對羅素悖論的誤解。
公理集合論的進路（ ZF(C) , NBG(C) , ...）
素朴集合論推出了邏輯矛盾，邏輯矛盾難道還能解決？顯然不能，我們只能放棄素朴集合論。但是素朴集合論之前是作為整個數學的基礎存在的啊，放棄了之后總不能撒手不管了，肯定得提一套新的理論出來作為數學的基礎。這里有幾種進路，其中一種就是其它答案中提到的公理化集合論的進路，也是主流的進路。
需要注意到，用理發師悖論式的證明來得出S不存在，這是不需要依靠集合論本身的，只需要用最基礎的邏輯就夠了，因此不管你集合論長什么樣子，反正“S不存在”是必然為真的。
我們需要做的是，構造一個新的集合論，使得這個集合論本身也能推出“S不存在”，而不是像素朴集合論的概括規則一樣推出“S存在”。這才是我們的最終目標。下面都是在圍繞這個目標。
素朴集合論除了概括規則以外，其它的很大一部分都挺好的，總不能全盤否定。所以大家覺得應該改進而不是拋棄。改進的辦法就是，對集合做出各種限制，從而避免出現羅素悖論那種情況。下面以ZF系統為例，用人話說一下究竟是怎么避免了羅素悖論。我們需要證明的是，ZF系統無法推出“S存在”，那么矛盾自然就消除了，根據理發師悖論的歸謬證明，就可以得出S不存在了。
ZF系統是一個純粹的公理系統，它的公理模式規定了集合的一些性質，以及如何從已有的集合產生新的集合。通過這些公理來達到對集合做出限制的目的。有一條公理叫 “分離公理”跟概括規則長得很像，它說的是：
對於任意集合x和任意合理性質P，都可以產生出一個集合y，y由x中那些滿足P的元素構成。（這里的合理和上面的合理不太一樣，這里的合理指的是可以用該公理系統中的合式公式來刻畫，不過這不是關鍵，所以我還是用了合理二字）通俗的說， 分離公理就是給概括規則加了個限制：由性質P定義出集合，必須在現有的集合內部分離出那些滿足P的集合，不能像原來那樣沒有邊界。
還有一條公理叫 正則公理：
任意非空集x，里面肯定包含了一個元素y，使得x和y沒有公共元素，也就是。
還有一條 xx公理保證了，如果x是集合，那么{x}也是集合，這條公理具體名字我不記得了...
下面寫一下ZF系統避免羅素悖論的通俗版（說了是通俗版就不要噴不嚴謹了吧）：
對於任意x，根據 xx公理，可得{x}也是集合。由於{x}是集合，所以根據 正則公理，{x}里面有一個元素跟{x}本身交集為空，但是{x}里面只有一個元素x，也就是說x跟{x}不相交，
，也就是說x不是自己的元素。因此，
。
而羅素悖論里定義的那個S是什么？就是所有不屬於自己的集合構成的嘛，既然每個集合都不屬於自己，那么S就是所有集合構成的集合，也就是大全集。但是根據 分離公理，要想通過性質P定義出一個集合，必須從已有的集合里面分離出來，但是哪個集合能分得出大全集啊...顯然，沒有一個集合有這樣的本事可以分離出一個大全集。所以，根據公理集合論可以推出：大全集S（也就是羅素悖論里的那個S）是不會存在的，既然S不存在，那么就不會產生羅素悖論中關於“S存不存在”的矛盾，因此就避免了矛盾。
嚴謹的證明版本如下：
假設存在大全集，那么對性質“
”應用分離公理，就可以得到
是一個集合，但是經過分析可知
當且僅當
，發生矛盾，因此假設錯誤，大全集不存在。而S其實就是大全集本身，因此S也不存在。因此不會產生羅素悖論中關於“S存不存在”的矛盾。證畢。
類型論的進路
（有更新，因為之前我自己對類型論的理解有偏差）
上面是ZF系統的解決方案。公理集合論的方案是主流方案，但其實羅素本人也想出來了一個方案——類型論，不知道為什么所有的答案都沒有提到，雖然類型論確實不是主流，但好歹是羅素本人提出來的，給個面子也應該介紹一下啊......
我們先跑個題，看看說謊者悖論：這句話是謊話。
這句話之所以成為悖論，是因為它描述的對象正好是它本身，它在試圖談論自己本身的性質。
理發師悖論其實也來源於這種 自指——理發師說的話里面包含了
作者：LLLBK
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他自己。
一般的說來， 自指總會導致一些不好的事情，比如數論系統的自指導致了哥德爾不完全性定理，判定一切圖靈機停機的圖靈機的自指導致了停機問題，而的自指則導致了羅素悖論。
羅素想要一網打盡由自指產生的問題，他在《數學原理》中說：
羅素提出了一個很直觀的解決方案—— 分階。（也叫分類型，分type）
直觀地認識這個世界，人會覺得世界是由一個一個的個體對象組成的，比如蘋果桌子電腦手機等等，這都是現實中存在的實體。我們把這種東西叫做對象，它們屬於type 0.
對象可以構成集合，比如一袋蘋果，幾部手機，這些都是對象構成的集合。這樣的集合我們稱為type 1，一階的集合。
一階集合自己也可以構成集合，這就是“集合的集合”，這和對象的集合顯然有區別，我們稱這種集合叫type 2，二階集合。
......
類似的可以構造更高階的集合。顯然，只能是高階集合包含低階對象或集合，不能同階之間包含，更不能低階包含高階。 按照這種規定，我們根本不能籠統的稱一個x是集合，我們只能稱它是哪一階的集合。
現在我們看，由於類型論精確了集合的概念，我們就得問，這個S究竟是哪一階的集合？會發現它哪一階都不是，證明如下：
對任意n，假設S是n階集合，對n+1階集合x來說，由於，那么就有
，則違反了類型論的規定，故假設錯誤。因此，對任意n，S都不是n階集合。這就把S排除在集合概念之外了，避免了羅素悖論。
這還不夠。
集合論的語言是什么？是一階語言，也就是包含
等等的語言。我們要對集合論進行類型化，為什么不
干脆完全改造一階語言？別忘了羅素是誰，羅素是理想語言主義的領軍人物，他甚至想着改造自然語言以適應邏輯語言。改造一階語言具體方案如下：
（以下可能需要一些一階語言的基礎，但我會盡量用人話說...）
先簡單提一下一階語言：
這些就不說了，那些構成公式的規則也不說了，基本謂詞PQR這些也不說了，這些都可以自行查找。這里的關鍵是，
一階語言是要有論域的，論域就是我們應用一階語言去談論的東西。一階語言本身沒有任何意義，它只是一堆無意義的符號而已。
只有當我們指定了論域，也就是指定了我們到底用符號在表示什么東西，
一階語言才是有意義的。
一階語言的論域，就是0階的對象，和0階的對象變元。對象就是前面說過的那些，比如“蘋果”“足球”這種個體實體。對象變元就是用來指代不確定對象的一個記號，也就是x啊y啊這些可以構成
的量化公式的變元。
一階語言的謂詞（也就是性質），是針對0階的對象和對象變元而言的。基本謂詞“P，Q”（比如“是紅的”、“是圓的”）等等當然算一階謂詞，因為它們是直接描述0階實體對象的性質的。但一階謂詞還包括一些更多的東西，比如這個：“存在一個論域中的對象x，x的顏色和...不相同”。這里描述的也是一個0階對象的性質，這個性質就是“有一個顏色不相同的x存在”。
一階命題當然就是用一階謂詞描述具體0階對象性質的那些命題啦。比如“這個蘋果是紅的”“存在一個東西跟這個蘋果的顏色不同”等等，都是一階命題。
二階語言想要描述的是一階的東西，包括一階謂詞和一階命題。具體的做法就是，在原有的論域中加入所有的一階謂詞和一階命題，然后在語言中加入一階謂詞常元變元和一階命題常元變元。
這樣說好像不太好理解，直觀的說就是二階語言談論的對象不僅包括原有的0階實體對象，還包括一階語言中的命題和性質。那么 二階語言中的“性質”（二階謂詞）就應該是“性質的性質”“命題的性質”，二階命題就應該是“性質的命題”“命題的命題”。舉例來說：“甜的”是一個形容食物的一階謂詞，那么 “用來形容食物的” 就是一個二階謂詞，它描述了“甜的”這一謂詞的性質。對應的二階命題就是“甜的 這一性質是用來形容食物的”。
為了更好地理解二階性質和二階命題，可以把它跟一階進行對比，“蘋果是甜的”描述的是蘋果這一實體的性質，“甜的 這一性質是用來形容食物的”並沒有描述任何實體的性質，它是“甜的”這一性質的性質。
類似的，可以構造更高階的語言，只要把低階的命題和謂詞納入論域，並且在語言中添加相應的謂詞常元變元和命題常元變元就OK。高階命題描述的是低階對象的性質。這里精確化了“命題”“謂詞”的概念，將命題和謂詞分階了。
這種類型論理論上可以消除一切由於語言上的自指而產生的悖論。比如說謊者悖論，“這句話是謊話”，這句話到底是哪一階的命題呢？不管它是哪一階的命題，它都不能描述自己，因為一個命題只能描述比自己更低階的東西。因此這句話不是一個合法命題，不是命題也就沒有什么真假之分，因此不構成悖論。
類型論還是很直觀的，“關於命題的命題”“關於性質的性質”“集合的集合”，好像確實跟普通的命題和普通的性質和普通的集合有分別，確實高一個階層。 但這種類型論並沒有成為主流，原因如下：
從數學上說：集合論是要用到數學上的，一階語言更是數學的基礎語言，類型論不允許我們籠統的說“所有的集合”“所有的元素”等等，必須區分階才能繼續討論。這給數學帶來很大的麻煩，比如我們用集合論刻畫自然數有一種方法是0=
,1={0}，2={0,1},3={0,1,2}...這時要討論自然數的性質就很麻煩了，每個自然數階數都不一樣。
從哲學上說：類型論要面臨一個很重要的問題——“是真的”這一謂詞屬於哪一階？我們可以說一階命題“蘋果是甜的”是真的，也可以說“甜的 這一性質是用來形容食物的”這個二階命題是真的，我們可以說任意階的命題是真的。那么“是真的”就高於任意的階，但階數是無窮的，因此這是不可能的。
當然，支持類型論的哲學家有自己的辦法，比如：可以否認“是真的”是一個謂詞，他們可以說“真”並不是命題的性質。
不考慮上述哲學上的撕逼。還有一點就是，類型論管得太寬了。他禁止了一切形式的自指，然而並非所有自指都是壞的或沒有意義的，比如“這句話有七個字”就不是壞的。有些自指是有必要的，比如書的末尾賣個萌寫上“這句話是本書的結尾了”。
這就是本回答的結尾了。
一般的說來， 自指總會導致一些不好的事情，比如數論系統的自指導致了哥德爾不完全性定理，判定一切圖靈機停機的圖靈機的自指導致了停機問題，而
的自指則導致了羅素悖論。
羅素想要一網打盡由自指產生的問題，他在《數學原理》中說：
使我們能夠避免不合法總體的那個原則可以陳述如下：“凡是牽涉到一個匯集的全體，它本身不能是該匯集的一個分子”......必須使關於總體的陳述不屬於這個總體的范圍之內。
羅素提出了一個很直觀的解決方案—— 分階。（也叫分類型，分type）
直觀地認識這個世界，人會覺得世界是由一個一個的個體對象組成的，比如蘋果桌子電腦手機等等，這都是現實中存在的實體。我們把這種東西叫做對象，它們屬於type 0.
對象可以構成集合，比如一袋蘋果，幾部手機，這些都是對象構成的集合。這樣的集合我們稱為type 1，一階的集合。
一階集合自己也可以構成集合，這就是“集合的集合”，這和對象的集合顯然有區別，我們稱這種集合叫type 2，二階集合。
......
類似的可以構造更高階的集合。顯然，只能是高階集合包含低階對象或集合，不能同階之間包含，更不能低階包含高階。 按照這種規定，我們根本不能籠統的稱一個x是集合，我們只能稱它是哪一階的集合。
現在我們看
，由於類型論精確了集合的概念，我們就得問，這個S究竟是哪一階的集合？會發現它哪一階都不是，證明如下：
對任意n，假設S是n階集合，對n+1階集合x來說，由於
，那么就有
，則違反了類型論的規定，故假設錯誤。因此，對任意n，S都不是n階集合。這就把S排除在集合概念之外了，避免了羅素悖論。
這還不夠。
集合論的語言是什么？是一階語言，也就是包含
等等的語言。我們要對集合論進行類型化，為什么不
干脆完全改造一階語言？別忘了羅素是誰，羅素是理想語言主義的領軍人物，他甚至想着改造自然語言以適應邏輯語言。改造一階語言具體方案如下：
（以下可能需要一些一階語言的基礎，但我會盡量用人話說...）
先簡單提一下一階語言：
這些就不說了，那些構成公式的規則也不說了，基本謂詞PQR這些也不說了，這些都可以自行查找。這里的關鍵是，
一階語言是要有論域的，論域就是我們應用一階語言去談論的東西。一階語言本身沒有任何意義，它只是一堆無意義的符號而已。
只有當我們指定了論域，也就是指定了我們到底用符號在表示什么東西，
一階語言才是有意義的。
一階語言的論域，就是0階的對象，和0階的對象變元。對象就是前面說過的那些，比如“蘋果”“足球”這種個體實體。對象變元就是用來指代不確定對象的一個記號，也就是x啊y啊這些可以構成
的量化公式的變元。
一階語言的謂詞（也就是性質），是針對0階的對象和對象變元而言的。基本謂詞“P，Q”（比如“是紅的”、“是圓的”）等等當然算一階謂詞，因為它們是直接描述0階實體對象的性質的。但一階謂詞還包括一些更多的東西，比如這個：“存在一個論域中的對象x，x的顏色和...不相同”。這里描述的也是一個0階對象的性質，這個性質就是“有一個顏色不相同的x存在”。
一階命題當然就是用一階謂詞描述具體0階對象性質的那些命題啦。比如“這個蘋果是紅的”“存在一個東西跟這個蘋果的顏色不同”等等，都是一階命題。
二階語言想要描述的是一階的東西，包括一階謂詞和一階命題。具體的做法就是，在原有的論域中加入所有的一階謂詞和一階命題，然后在語言中加入一階謂詞常元變元和一階命題常元變元。
這樣說好像不太好理解，直觀的說就是二階語言談論的對象不僅包括原有的0階實體對象，還包括一階語言中的命題和性質。那么 二階語言中的“性質”（二階謂詞）就應該是“性質的性質”“命題的性質”，二階命題就應該是“性質的命題”“命題的命題”。舉例來說：“甜的”是一個形容食物的一階謂詞，那么 “用來形容食物的” 就是一個二階謂詞，它描述了“甜的”這一謂詞的性質。對應的二階命題就是“甜的 這一性質是用來形容食物的”。
為了更好地理解二階性質和二階命題，可以把它跟一階進行對比，“蘋果是甜的”描述的是蘋果這一實體的性質，“甜的 這一性質是用來形容食物的”並沒有描述任何實體的性質，它是“甜的”這一性質的性質。
類似的，可以構造更高階的語言，只要把低階的命題和謂詞納入論域，並且在語言中添加相應的謂詞常元變元和命題常元變元就OK。高階命題描述的是低階對象的性質。這里精確化了“命題”“謂詞”的概念，將命題和謂詞分階了。
這種類型論理論上可以消除一切由於語言上的自指而產生的悖論。比如說謊者悖論，“這句話是謊話”，這句話到底是哪一階的命題呢？不管它是哪一階的命題，它都不能描述自己，因為一個命題只能描述比自己更低階的東西。因此這句話不是一個合法命題，不是命題也就沒有什么真假之分，因此不構成悖論。
類型論還是很直觀的，“關於命題的命題”“關於性質的性質”“集合的集合”，好像確實跟普通的命題和普通的性質和普通的集合有分別，確實高一個階層。 但這種類型論並沒有成為主流，原因如下：
從數學上說：集合論是要用到數學上的，一階語言更是數學的基礎語言，類型論不允許我們籠統的說“所有的集合”“所有的元素”等等，必須區分階才能繼續討論。這給數學帶來很大的麻煩，比如我們用集合論刻畫自然數有一種方法是0=
,1={0}，2={0,1},3={0,1,2}...這時要討論自然數的性質就很麻煩了，每個自然數階數都不一樣。
從哲學上說：類型論要面臨一個很重要的問題——“是真的”這一謂詞屬於哪一階？我們可以說一階命題“蘋果是甜的”是真的，也可以說“甜的 這一性質是用來形容食物的”這個二階命題是真的，我們可以說任意階的命題是真的。那么“是真的”就高於任意的階，但階數是無窮的，因此這是不可能的。
當然，支持類型論的哲學家有自己的辦法，比如：可以否認“是真的”是一個謂詞，他們可以說“真”並不是命題的性質。
不考慮上述哲學上的撕逼。還有一點就是，類型論管得太寬了。他禁止了一切形式的自指，然而並非所有自指都是壞的或沒有意義的，比如“這句話有七個字”就不是壞的。有些自指是有必要的，比如書的末尾賣個萌寫上“這句話是本書的結尾了”。
這就是本回答的結尾了。