PMVS論文隨筆（1）

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關於Unit的概念

在pmvs的源代碼中，有一個函數是getUnit ，其函數如下（在PMVS2的windows版本代碼，optim.cc文件，1184行）：

float Coptim::getUnit(const int index, const Vec4f& coord) const {
  const float fz = norm(coord - m_fm.m_pss.m_photos[index].m_center);
  const float ftmp = m_ipscales[index];
  if (ftmp == 0.0)
    return 1.0;

  return 2.0 * fz * (0x0001 << m_fm.m_level) / ftmp;
}

其中index是圖像編號，coord是三維射影空間下的坐標。

這個函數在pmvs代碼中幾乎所有的和空間幾何計算相關的函數中均被調用，最開始看代碼時我並沒有特別注意，但是隨着代碼閱讀的深入，發現如果不將該函數讀懂，就完全無法理解pmvs中所有的幾何計算函數究竟是在做什么，於是今天花時間特意鑽研了下，把該函數的含義表達清楚。

先說結論：該函數是計算將圖片上的一個像素反投影到空間的一個指定的面片（patch）上得到的正方形的大小（以世界坐標系中的距離為量度），這個面片滿足如下條件——面片的中心位於coord， 面片的法線與相片的法線平行但方向相反（也就是論文中初始化patch時的法線計算方法）。

這個結論看起來非常復雜，簡單說就是如果我在空間的某個坐標處想要畫一個正方形，使得該正方形投影到對應的與該正方形平行的相片上的大小恰好是1×1像素大小，那么這個正方形的邊長在世界坐標系中的表達究竟是多少。這個函數就是來求解這個邊長的。

這樣的話這個函數作用其實就相當大了，他直接溝通了像素坐標和空間坐標的比例關系，可以粗略的比較相片對於場景的縮放，簡化很多投影和反投影計算。而這個函數用到的計算方法其實也非常簡單。就是簡單的相似三角形關系，具體解釋如下

小孔成像相機的幾何關系如下圖所示（摘自《 Multiple View Geometry in Computer Vision 》）

從該成像原理上我們可以看出，空間中一個長度為\(D\) 的物體投影到圖像上長度\(l\)滿足如下關系：

\[\frac{D}{l} = \frac{Z_0}{f} \]

其中\(f\) 為焦距，\(Z_0\) 為物體到攝影中心的距離。
由上式可以得到：

\[D = \frac{l}{f}Z_0 \]

這樣我們已知\(l\) 為1個像素長度，\(Z_0\) 可以直接由coord到相片的攝影中心直接計算得到。那么只要我們知道以像素為單位的\(f\)的數值，就可以直接得到\(D\)。幸運的是，根據一般CCD相機內參數矩陣中各變量的定義：

\[K=\begin{bmatrix} a_x & s & x_0 \\ 0 & a_y & y_0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

其中\(a_x\)和 \(a_y\)分別是相機在x和y方向上的焦距，且以像素為量綱。另外一般情況下，CCD相機在x和y方向上的比例因此近似相等，即\(a_x \approx a_y\)，這樣我們可以用下式來近似計算\(f\)

\[f = \frac{a_x + a_y}{2} \]

綜上可得：

\[D=\frac{2}{a_x + a_y} Z_0 \]

這就是pmvs中getUnit的計算方法， 特別解釋下，代碼中m_ipscales[index]就是提前計算好的\(a_x+a_y\)的數值，而(0x0001 << m_fm.m_level)則是一個比例因子，可以讓程序將圖像縮放到一半或者四分之一大小進行計算。