圖（二）——最小生成樹、最短路徑問題

第十一周課堂學習內容消化——圖（二）（三）

本周課堂學習內容

1. 圖的遍歷
2. 最小生成樹
3. 最短路徑問題
4. 活動頂點與活動邊問題

本周課堂中未理解透徹的地方

1. Prim算法
2. Kruskal算法
3. Dijkstra算法
4. Floyd算法

學習內容總結

貪心算法

研究完Prim算法、Kruskal算法和Dijkstra算法之后，我發現他們都屬於貪心算法。因此，在要搞懂這兩種算法之前，應該先弄明白貪心算法是什么。

一、簡述貪心算法

所謂貪心算法是指，在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的局部最優解。
貪心算法沒有固定的算法框架，算法設計的關鍵是貪心策略的選擇。必須注意的是，貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解，選擇的貪心策略必須具備無后效性，即某個狀態以后的過程不會影響以前的狀態，只與當前狀態有關。
所以對所采用的貪心策略一定要仔細分析其是否滿足無后效性。

二、貪心算法的基本思路

1. 建立數學模型來描述問題。
2. 把求解的問題分成若干個子問題。
3. 對每一子問題求解，得到子問題的局部最優解。
4. 把子問題的解局部最優解合成原來解問題的一個解。

三、貪心算法適用的問題

貪心策略適用的前提是：局部最優策略能導致產生全局最優解。
實際上，貪心算法適用的情況很少。一般，對一個問題分析是否適用於貪心算法，可以先選擇該問題下的幾個實際數據進行分析，就可做出判斷。

動態規划

Floyd算法是一種典型的動態規划。在研究Floyd算法之前，我們先來研究一下這個動態規划。

一、簡述動態規划

動態規划過程是：每次決策依賴於當前狀態，又隨即引起狀態的轉移。一個決策序列就是在變化的狀態中產生出來的，所以，這種多階段最優化決策解決問題的過程就稱為動態規划。

動態規划的基本思想與分治法類似，也是將待求解的問題分解為若干個子問題（階段），按順序求解子階段，前一子問題的解，為后一子問題的求解提供了有用的信息。在求解任一子問題時，列出各種可能的局部解，通過決策保留那些有可能達到最優的局部解，丟棄其他局部解。依次解決各子問題，最后一個子問題就是初始問題的解。

由於動態規划解決的問題多數有重疊子問題這個特點，為減少重復計算，對每一個子問題只解一次，將其不同階段的不同狀態保存在一個二維數組中。

與分治法最大的差別是：適合於用動態規划法求解的問題，經分解后得到的子問題往往不是互相獨立的（即下一個子階段的求解是建立在上一個子階段的解的基礎上，進行進一步的求解）。

二、動態規划的基本思路

1. 分析最優解的性質，並刻畫其結構特征。
2. 遞歸的定義最優解。
3. 以自底向上或自頂向下的記憶化方式（備忘錄法）計算出最優值
4. 根據計算最優值時得到的信息，構造問題的最優解

三、動態規划適用的問題

能采用動態規划求解的問題的一般要具有3個性質：

1. 最優化原理：如果問題的最優解所包含的子問題的解也是最優的，就稱該問題具有最優子結構，即滿足最優化原理。
2. 無后效性：即某階段狀態一旦確定，就不受這個狀態以后決策的影響。也就是說，某狀態以后的過程不會影響以前的狀態，只與當前狀態有關。
3. 有重疊子問題：即子問題之間是不獨立的，一個子問題在下一階段決策中可能被多次使用到。（該性質並不是動態規划適用的必要條件，但是如果沒有這條性質，動態規划算法同其他算法相比就不具備優勢）

Prim算法和Kruskal算法

弄明白貪心算法怎么回事之后，接下啦就開始挨個分析這幾個算法啦~

一、算法簡述

Prim算法和Kruskal算法都是實現最小生成樹的算法，都屬於貪心算法。

首先，先弄清最小生成樹的概念與特點：
最小生成樹及各邊的權值總和最小的生成樹。其中，若最小生成樹n個頂點，那么他的邊就有n-1個。若每個邊的權值都是最小的，那么整體加起來就一定是最小的，這里並不存在后繼型，因此在實現最小生成樹時可以運用貪心算法。

接下來是Prim算法和Kruskal算法實現最小生成樹的方法：
Prim算法：
核心思想：將點分為兩撥，已經加入最小生成樹的，和未加入的。找到未加入中距離集合最近的點，添加該點，修改其它點到集合的距離,直到所有結點都加入到最小生成樹。

Kruskal算法：
核心思想：按照權值從小到大的順序選擇n-1條邊，並保證這n-1條邊不構成回路。其中判斷是否回路為核心。

二、算法過程演示

以課上中給出的圖為例：

Prim算法：

1. 隨機選擇一個點作為初始點。這里我選擇頂點A。
2. 找到A周圍權值最小的邊（這里最小的是權值為1的A-C邊），加入對應的頂點C。
3. 將A-C看做整體后，再尋找這個整體周圍權值最小的邊。在這里是C-F邊，加入頂點F。
4. 重復以上步驟，由於若最小生成樹n個頂點，那么他的邊就有n-1個，因此循環n-1次即可

Kruskal算法：

1. 首先將各邊按照權值有小到大排序
2. 判斷回路：
   • A、B、C、D、E、F的下標分別為0,1,2,3,4,5
   • 他們的初始值均先賦為-1
   • 從最小的權值邊開始，兩個頂點隨便設定一個作為根結點，將根結點的值減一，另一個頂點值改為根結點的下標
   • 在加邊的時候，若兩個點的值相同，或者其中一個的值為根結點的下標，則會構成回路，應該排除這樣的情況。
   • 重復以上的步驟，至少需要循環判斷n-1次，一直到找到n-1條符合條件的邊才停止。

Dijkstra算法和Floyd算法

一、算法簡述

Dijkstra算法和Floyd算法都是廣度優先搜索的算法，目的是解決最短路徑問題。其中，Dijkstra算法也是一種貪心算法，而Floyd算法更多的是一種動態規划。

Dijkstra算法：
Dijkstra算法為最短路徑中的單源最短路徑。主要特點是以起始點為中心向外層層擴展，直到擴展到終點為止。注意該算法要求圖中不存在負權邊。解決的是圖中任意一個頂點到其他頂點的最短距離。

設G為賦權有向圖或無向圖，G邊上的權均非負。
求G中從頂點u0到其余點的最短路。
S：具有永久標號的頂點集。
對每個頂點，定義兩個標記（l(v) , z(v)），其中，
l(v)：表示從頂點u0到v的一條路的權。
z(v)：v的父親點，用以確定最短路的路線。
算法的過程就是在每一步改進這兩個標記，使最終l(v)為從頂點u0到v的最短路的權。輸入為帶權鄰接矩陣W。

Floyd算法：
Floyd算法是各頂點對間最短路徑算法，解決任意兩點間的最短路徑的一種算法，可以正確處理有向圖或負權的最短路徑問題，同時也被用於計算有向圖的傳遞閉包。

D（i , j）：i 到 j 的距離
R（i , j）：i 到 j 之間的插入點
輸入帶權鄰接矩陣W，

1. 賦初值：對所有 i , j ，d ( i , j ) ← w ( i , j ) , r ( i , j ) ← j , k←1。
2. 更新 d ( i , j ) , r ( i , j )：對所有 i , j , 若 d ( i , k ) + d ( k , j ) ＜d ( i , j ) ，則
   d ( i , j ) ← d ( i , j ) + d ( i , j )， r ( i , j ) ← k
3. 若 k = v ，停止；否則 k ← k + 1，轉2

參考資料

• 五大常用算法之三：貪心算法
• 五大常用算法之三：動態規划
• Prim最小生成樹算法詳解
• Kruskal算法 之 Java詳解
• 最短路徑——Dijkstra算法和Floyd算法