數組中的逆序對

題目：

在數組中的兩個數字，如果前面一個數字大於后面的數字，則這兩個數字組成一個逆序對。輸入一個數組,求出這個數組中的逆序對的總數P。並將P對1000000007取模的結果輸出。 即輸出P%1000000007

輸入描述:

題目保證輸入的數組中沒有的相同的數字

數據范圍：

對於%50的數據,size<=10^4

對於%75的數據,size<=10^5

對於%100的數據,size<=2*10^5

示例1

輸入

1,2,3,4,5,6,7,0

輸出

7

思路分析（劍指offer）：

        看到這個題目，我們的第一反應是順序掃描整個數組。沒掃描到一個數組的時候，逐個比較該數字和它后面的數字的大小。如果后面的數字比它小，則這兩個數字就組成了一個逆序對。假設數組中含有n個數字。由於每個數字都要和O(n)這個數字比較，因此這個算法的時間復雜度為O(n^2)。

        我們以數組{7,5,6,4}為例來分析統計逆序對的過程。每次掃描到一個數字的時候，我們不拿ta和后面的每一個數字作比較，否則時間復雜度就是O(n^2)，因此我們可以考慮先比較兩個相鄰的數字。

                                                       

(a) 把長度為4的數組分解成兩個長度為2的子數組；

(b) 把長度為2的數組分解成兩個成都為1的子數組；

(c) 把長度為1的子數組 合並、排序並統計逆序對 ；

(d) 把長度為2的子數組合並、排序，並統計逆序對；

       在上圖（a）和（b）中，我們先把數組分解成兩個長度為2的子數組，再把這兩個子數組分別拆成兩個長度為1的子數組。接下來一邊合並相鄰的子數組，一邊統計逆序對的數目。在第一對長度為1的子數組{7}、{5}中7大於5，因此（7,5）組成一個逆序對。同樣在第二對長度為1的子數組{6}、{4}中也有逆序對（6,4）。由於我們已經統計了這兩對子數組內部的逆序對，因此需要把這兩對子數組 排序 如上圖（c）所示， 以免在以后的統計過程中再重復統計。

      接下來我們統計兩個長度為2的子數組子數組之間的逆序對。合並子數組並統計逆序對的過程如下圖如下圖所示。

      我們先用兩個指針分別指向兩個子數組的末尾，並每次比較兩個指針指向的數字。如果第一個子數組中的數字大於第二個數組中的數字，則構成逆序對，並且逆序對的數目等於第二個子數組中剩余數字的個數，如下圖（a）和（c）所示。如果第一個數組的數字小於或等於第二個數組中的數字，則不構成逆序對，如圖b所示。每一次比較的時候，我們都把較大的數字從后面往前復制到一個輔助數組中，確保 輔助數組（記為copy） 中的數字是遞增排序的。在把較大的數字復制到輔助數組之后，把對應的指針向前移動一位，接下來進行下一輪比較。

     

過程總結：

先把數組分隔成子數組，統計出子數組內部的逆序對的數目，然后再統計出兩個相鄰子數組之間的逆序對的數目。

參考代碼：

public class InversePairs {
    private int count = 0;

    public int InversePairs(int[] a) {
        if (a == null || a.length == 0)
            return -1;
        mergeSort(a, 0, a.length - 1);
        return count;
    }

    public void mergeSort(int[] a, int left, int right) {
        if (left < right) {
            int mid = (left + right) / 2;
            mergeSort(a, left, mid);
            mergeSort(a, mid + 1, right);
            merge(a, left, mid, right);
        }
    }

    public void merge(int[] a, int left, int mid, int right) {
        int[] tmp = new int[right - left + 1];
        int t = right - left;//臨時數組下標
        int l = mid;
        int r = right;
        while (l >= left && r >= mid + 1) {
            if (a[l] > a[r]) {
                count += (r - mid);
                tmp[t--] = a[l--];
                if (count >= 1000000007) {
                    count %= 1000000007;
                }
            } else {
                tmp[t--] = a[r--];
            }
        }
        while (l >= left) {
            tmp[t--] = a[l--];
        }
        while (r >= mid + 1) {
            tmp[t--] = a[r--];
        }
        for (int i = 0; i <= right - left; i++) {
            a[left + i] = tmp[i];
        }
    }

    @Test
    public void testSolution() {
        int[] a = { 364, 637, 341, 406, 747, 995, 234, 971, 571, 219, 993, 407,
                416, 366, 315, 301, 601, 650, 418, 355, 460, 505, 360, 965,
                516, 648, 727, 667, 465, 849, 455, 181, 486, 149, 588, 233,
                144, 174, 557, 67, 746, 550, 474, 162, 268, 142, 463, 221, 882,
                576, 604, 739, 288, 569, 256, 936, 275, 401, 497, 82, 935, 983,
                583, 523, 697, 478, 147, 795, 380, 973, 958, 115, 773, 870,
                259, 655, 446, 863, 735, 784, 3, 671, 433, 630, 425, 930, 64,
                266, 235, 187, 284, 665, 874, 80, 45, 848, 38, 811, 267, 575 };
        System.out.println(InversePairs(a));//2519
    }
}