[LeetCode] 518. Coin Change 2 硬幣找零之二

 

You are given coins of different denominations and a total amount of money. Write a function to compute the number of combinations that make up that amount. You may assume that you have infinite number of each kind of coin.

Note: You can assume that

• 0 <= amount <= 5000
• 1 <= coin <= 5000
• the number of coins is less than 500
• the answer is guaranteed to fit into signed 32-bit integer

 

Example 1:

Input: amount = 5, coins = [1, 2, 5]
Output: 4
Explanation: there are four ways to make up the amount:
5=5
5=2+2+1
5=2+1+1+1
5=1+1+1+1+1

 

Example 2:

Input: amount = 3, coins = [2]
Output: 0
Explanation: the amount of 3 cannot be made up just with coins of 2.

 

Example 3:

Input: amount = 10, coins = [10] 
Output: 1

 

這道題是之前那道 Coin Change 的拓展，那道題問我們最少能用多少個硬幣組成給定的錢數，而這道題問的是組成給定錢數總共有多少種不同的方法。還是要使用 DP 來做，首先來考慮最簡單的情況，如果只有一個硬幣的話，那么給定錢數的組成方式就最多有1種，就看此錢數能否整除該硬幣值。當有兩個硬幣的話，組成某個錢數的方式就可能有多種，比如可能由每種硬幣單獨來組成，或者是兩種硬幣同時來組成，怎么量化呢？比如我們有兩個硬幣 [1,2]，錢數為5，那么錢數的5的組成方法是可以看作兩部分組成，一種是由硬幣1單獨組成，那么僅有一種情況 (1+1+1+1+1)；另一種是由1和2共同組成，說明組成方法中至少需要有一個2，所以此時先取出一個硬幣2，然后只要拼出錢數為3即可，這個3還是可以用硬幣1和2來拼，所以就相當於求由硬幣 [1,2] 組成的錢數為3的總方法。是不是不太好理解，多想想。這里需要一個二維的 dp 數組，其中 dp[i][j] 表示用前i個硬幣組成錢數為j的不同組合方法，怎么算才不會重復，也不會漏掉呢？我們采用的方法是一個硬幣一個硬幣的增加，每增加一個硬幣，都從1遍歷到 amount，對於遍歷到的當前錢數j，組成方法就是不加上當前硬幣的拼法 dp[i-1][j]，還要加上，去掉當前硬幣值的錢數的組成方法，當然錢數j要大於當前硬幣值，狀態轉移方程也在上面的分析中得到了：

dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (j >= coins[i - 1] ? dp[i][j - coins[i - 1]] : 0)

注意要初始化每行的第一個位置為0，參見代碼如下：      

 

解法一：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<vector<int>> dp(coins.size() + 1, vector<int>(amount + 1, 0));
        dp[0][0] = 1;
        for (int i = 1; i <= coins.size(); ++i) {
            dp[i][0] = 1;
            for (int j = 1; j <= amount; ++j) {
                dp[i][j] = dp[i - 1][j] + (j >= coins[i - 1] ? dp[i][j - coins[i - 1]] : 0);
            }
        }
        return dp[coins.size()][amount];
    }
};

 

我們可以對空間進行優化，由於 dp[i][j] 僅僅依賴於 dp[i - 1][j] 和 dp[i][j - coins[i - 1]] 這兩項，就可以使用一個一維dp數組來代替，此時的 dp[i] 表示組成錢數i的不同方法。其實最開始的時候，博主就想着用一維的 dp 數組來寫，但是博主開始想的方法是把里面兩個 for 循環調換了一個位置，結果計算的種類數要大於正確答案，所以一定要注意 for 循環的順序不能搞反，參見代碼如下：

 

解法二：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        vector<int> dp(amount + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int coin : coins) {
            for (int i = coin; i <= amount; ++i) {
                dp[i] += dp[i - coin];
            }
        }
        return dp[amount];
    }
};

 

在 CareerCup 中，有一道極其相似的題 9.8 Represent N Cents 美分的組成，書里面用的是那種遞歸的方法，博主想將其解法直接搬到這道題里，但是失敗了，博主發現使用那種的遞歸的解法必須要有值為1的硬幣存在，這點無法在這道題里滿足。你以為這樣博主就沒有辦法了嗎？當然有，博主加了判斷，當用到最后一個硬幣時，判斷當前還剩的錢數是否能整除這個硬幣，不能的話就返回0，否則返回1。還有就是用二維數組的 memo 會 TLE，所以博主換成了 map，就可以通過啦～

 

解法三：

class Solution {
public:
    int change(int amount, vector<int>& coins) {
        if (amount == 0) return 1;
        if (coins.empty()) return 0;
        map<pair<int, int>, int> memo;
        return helper(amount, coins, 0, memo);
    }
    int helper(int amount, vector<int>& coins, int idx, map<pair<int, int>, int>& memo) {
        if (amount == 0) return 1;
        else if (idx >= coins.size()) return 0;
        else if (idx == coins.size() - 1) return amount % coins[idx] == 0;
        if (memo.count({amount, idx})) return memo[{amount, idx}];
        int val = coins[idx], res = 0;
        for (int i = 0; i * val <= amount; ++i) {
            int rem = amount - i * val;
            res += helper(rem, coins, idx + 1, memo);
        }
        return memo[{amount, idx}] = res;
    }
};

 

Github 同步地址：

https://github.com/grandyang/leetcode/issues/518

 

類似題目：

Coin Change

9.8 Represent N Cents 美分的組成

 

參考資料：

https://leetcode.com/problems/coin-change-2/

https://leetcode.com/problems/coin-change-2/discuss/141076/Logical-Thinking-with-Clear-Java-Code

https://leetcode.com/problems/coin-change-2/discuss/99212/Knapsack-problem-Java-solution-with-thinking-process-O(nm)-Time-and-O(m)-Space

 

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