考完駕照，回來填坑 /doge/doge
前兩節分別介紹了tal算法中的合並函數和信道操作兩個部分，我們將高斯信道的應用放在最后一節來介紹。
在之前的介紹中，我們一直在一個前提下進行討論——即輸入字符集是有限的。
但是，對於一個具有連續輸出字符集的信道，如經典的二元高斯信道，它也可以是對稱信道，但是它的輸出是連續的，所以不能直接使用tal算法。為了將tal算法應用於改信道，我們就要對這個信道做一些近似。
總體思路類似微分思想，將連續輸出分成若干個非常小的離散輸出。
我們假設W為一個具有連續輸出的BMS信道，且W滿足以下幾點：
- W的輸出字符集為實數集；
- f(y|0),f(y|1)為輸出的概率分布函數，輸入為{0,1}；
- W的對稱性表現為：f(y|0)=f(-y|1)，y∈R；
- 同時，為了方便起見，我們假設：f(y|0)≥f(y|1)，y≥0。
正如我們所期望的那樣，BAWGN信道滿足上面所有的假設。前兩個假設的成立是顯然的，對於后兩條假設，在BPSK調制下（0映射為1,1映射為-1），我們可以繪制出函數圖像。
圖1 高斯曲線對比
上圖中，高斯曲線的方差均為1，均值分別為1和-1，可以看到，兩個曲線關於x = 0是對稱的，因此上面第三個假設成立。在x > 0 的區間顯然有第四個假設成立。
接下來，我們定義y的似然比為：
根據定義，W的信道容量可以表示為：
其中，在 λ ≥ 1 時，有;
上面這兩個公式是從 tal 論文中直接截過來的，由於水平有限，其推導過程我不得而知。
作者提到，C[λ] 的一個重要的性質是，它隨 λ 的增大呈嚴格遞增。從下圖中可以很容易看出這一點：
圖2 C[λ] - λ
我們前面已經說過，本節的思路在於通過微分思想，把連續輸出近似成為離散輸出，而上面的介紹提供了 C[λ] 這樣一個參數，我們可以用它來作為分割輸出字符集的依據。在論文中，作者是這樣進行區分的：
假設 μ=2*v 為指定弱化/強化信道輸出字符集，i 取值范圍為：1 ≤ i ≤ v-1，那么，可以對輸出集 y 作如下分割：
其中，第二個不等號在 i 取 i=v 時變為 “≤”。
我們看到，在上面這個集合中，y 和 C 之間通過兩重映射關系聯系到了一起，而 C 被限制在了某個區間之中，因此y也相應的被分割成了若干個小段。
下面以弱化操作為例進行講解：
主要內容圍繞着Lemma15、Lemma16兩個引理展開，在介紹二者之前，需要一些預定義。
我們的BMS信道W滿足本節最開始的四個假設，定義信道 
，其中，Z定義為：
根據定義，我們可以很容易得到Q的信道轉移概率表達式，如下，為積分運算：
Lemma15 （在上述定義下的）信道 Q 是一個BMS信道，而且它是 W 的弱化信道：
這個引理的證明比較容易理解，Q顯然是一個BMS信道。只要我們選擇中間信道P定義為：
那么Q是W的弱化信道也是可以理解的。
Lemma16 Q 和 W 的信道容量之差可以限制在如下區間中:
對於 tal 算法在matlab下的實現，可以做如下的介紹。
與之前一樣，我們的程序設計還是以下面的算法為主要框架：
在此基礎上，對於高斯信道來說，由於它具有連續的輸出，因此它的轉移概率需要使用上面介紹的積分公式來計算。
為了進行積分運算，我們首先需要對 y 進行分區，然后才能在每一個小分區內進行積分。
對 y 的分區依據就是上面提到的集合 Ai 。
其一、我們可以令 C[λ(y)] = i/v，求出對應的 λ(y)。
設 f(x) = C[λ] - i/v，令 f(x) = 0，求得根x的值，由於表達式比較復雜，這一步可以借助“牛頓-拉夫遜方法”在matlab上完成，方法見超鏈接。
其二、得到 λ 后，可以根據 λ 與 y 的映射關系，求出 y 。
上面內容中， v 是輸出單元長度，i 是一個循環下標。i 的循環范圍為 1~v，通過 i 的循環和調用上面兩個步驟，我們可以得到若干的 y 值，實際上可以把這些 y 值寫成向量形式。那么，對於得到的向量，相鄰兩個元素就是我們求定積分所用到的上下限。
得到了高斯信道的近似轉移概率，我們就可以將其視為一個離散的BMS信道，接下來，按照前面的思路去進行弱化操作和合並操作，就能夠在高斯信道下完成信息位的挑選任務了。