第二篇我們來介紹一下極化碼的編碼。
首先為了方便進行編碼，我們需要進行數組的定義
signal = randi([0,1],1,ST); %信息位比特，隨機二進制數 frozen = zeros(1,FT); %固定位比特，規定全為0 encode = zeros(1,N * block); %編碼后的比特 noise = snr(i) ^ 1/2 * randn(1,N * block); %加性高斯白噪聲
極化碼的編碼重點在於生成矩陣的產生，以及信息位、凍結位的選取。
- 我們先來看生成矩陣的產生。
這是Arikan論文中的編碼示意圖，好像挺復雜，不過看不懂也沒關系。我們來看一下編碼過程中都做了哪些事。
首先是向量元素的翻轉，通過翻轉矩陣RN來實現，然后是信道的聯合和信道的分裂。
什么？你問我為什么要這樣做？我也不知道，極化碼本身就建立在信道極化的現象之上，信道極化就是信道以特定方式聯合和分裂所產生的現象。要想問為什么這么做，到土耳其找Arikan教授喝茶去吧。
論文中將這個翻轉過程簡化為矩陣運算，這就為我們進行程序仿真提供了方便：
其中：
BN 為排序矩陣，以N=8為例，解釋它的作用：
傳化過程為：%將向量下標減一后，轉化為二進制數%----%將得到的二進制數反序排列%----%將反序后的二進制數轉化為十進制數，加一%
例：
我們通過 BN 的遞推式可以求得 BN，再將其與 F 的 n 次克勞尼克積相乘，就能夠得到生成矩陣。
這樣說你明白了嗎？什么？沒有？？？
不錯，說明你是個正常人。實際編碼的時候，如果真的在matlab中將上述過程模擬一遍來求生成矩陣的話，是非常耗時耗力的。我們還有另外一條路可以走——找規律。
上式為 GN 的原始求解方法，其中 I 為單位矩陣，F 定義為[1 0; 1 1]，RN 為翻轉矩陣，對於 
，有：
N=4：
N=8：
可以發現 A 的元素排列十分有規律。前 N/2 列元素總是奇偶成對出現“1”，后 N/2 元素僅出現在偶數位，且與同處在一行的前一個“1”保持固定距離。根據此規律編寫程序如下：
for i = 1 : N/2
A(2 * i - 1, i) = 1;
A(2 * i, i) = 1;
A(2 * i, N / 2 + i) = 1;
end
遞歸部分：
G = A * kron(eye(2),Gpre); %Gpre即上一層遞歸所得生成矩陣 Gpre = G;
如果將生成矩陣的產生編寫為一個函數，則代碼如下：
function GN = G(n)
N = 2 ^ n;
Gpre = 1;
for i=1:n %每一層遞歸都相當於計算一個新的生成矩陣
Ni = 2 ^ i; %這個新的生成矩陣的維度為 Ni/2
G = zeros(Ni);
%Fn = zeros(Ni);
A = zeros(Ni);
for j = 1 : Ni / 2
A(2 * j - 1 , j) = 1;
A(2 * j , j) = 1;
A(2 * j , Ni / 2 + j) = 1;
end
G = A*kron(eye(2),Gpre);
Gpre = G;
end
GN = G;
end
- 其次，來看信息位與凍結位的選取
信道極化過程中，有一部分信道的信道容量 I(W) 可以到達1，另一部分則趨近於0。信道容量反映了信道無失真傳輸的最大信息率，我們可以通過計算聯合、分裂后各信道的信道容量並對它們進行排序，然后根據碼率，選擇排序靠前的信道作為信息傳輸的信道，剩余的信道用來傳輸凍結位。
另一種方法是計算巴氏參數Z(W)，對於一個給定信道，巴氏參數越大說明該信道越不可靠。因此我們只需計算出聯合、分裂后信道的巴氏參數，並對它們進行排序，然后根據碼率選擇巴氏參數較小的信道作為信息位，剩余信道作為凍結位。Arikan論文中給出了巴氏參數的遞歸求解辦法，這使得我們能夠很方便的通過matlab實現信息位的選取。
% 將巴氏參數計算過程封裝在函數B_para之中方便調用，Z為數組，作為實參傳遞進來。數組中只有第一個元素。
% Z第一個元素可以通過計算得到，計算公式為Z(1) = 2*(p*(1-p))^0.5;
function y = B_para(Z)
for i = 1 : log2(N) %迭代次數，N為碼長
Z_pre = Z; %z_pre為上一層信道巴氏參數
for j = 1 : 2^(i-1) %本層運算使用的下標
Z(2*j-1) = 2*Z_pre(j) - Z_pre(j)^2;
Z(2*j) = Z_pre(j)^2; %遞推公式
end
end
y = z; % y作為實參從函數中傳遞出去，y就是最終的巴氏參數
得到巴氏參數序列后，下面的操作就是將此序列進行排序，並根據碼率確定信息位和固定位。
[Z_in_order,index] = sort( y ); %將巴氏參數從小到大排列 signal_index = sort( index( 1:S ) ); %前S位作為信息位 frozen_index = sort( index( s+1:end ) ); %后面的作為凍結位
得到了生成矩陣，確定了信息位凍結位，下面要做的就是進行編碼。
for j=1:block %對每一個碼塊都要進行編碼處理
encoded(1,((j-1)*N+1):(j*N)) = signal(((j-1)*S+1):(j*S))*G(signal_index,:) + frozen(((j-1)*F+1):(j*F))*G(frozen_index,:);
end %進行編碼
encode = mod(encode,2); %對2取模
encode = 2 * encode - 1; %符號化
encode = encode + noise; %疊加噪聲
數組 encode 就是我們得到的編碼矩陣。
編碼matlab實現就是這樣，為了照顧和知識點講解同步，各個部分代碼並未進行完整、嚴謹的書寫。本系列最后我會整合與各章節中分散的代碼，為大家帶來可運行的代碼，並將M文件附在文后。敬請期待。
下一節我們要探討的是polar code中非常重要的譯碼部分——連續消除譯碼（SC譯碼）。