【LeetCode】673. Number of Longest Increasing Subsequence

題目：

Given an unsorted array of integers, find the number of longest increasing subsequence.

Example 1:

Input: [1,3,5,4,7]
Output: 2
Explanation: The two longest increasing subsequence are [1, 3, 4, 7] and [1, 3, 5, 7].

Example 2:

Input: [2,2,2,2,2]
Output: 5
Explanation: The length of longest continuous increasing subsequence is 1, and there are 5 subsequences' length is 1, so output 5.

題解：

　　首先解決最長的遞增序列問題，最朴素的做法是深搜，以每一個數為開頭，找位置在它后面的且數值比它大的為下一層，顯然會超時，考慮用動態規划去解決問題(也就是最長上升序列（LIS），一個經典的動態規划問題)。其實就是LIS的變體。 摘自九章算法

1. 設dp[i]為以該數結尾，能構成的最長序列的長度。進行連接的時候，對於每個數字num[i]，遍歷位置在它之前的數字num[j]，如果比這個數小（num[j]<num[i]），也就是能構成一個序列，這樣就能進行狀態轉移，我們令dp[i]=max(dp[i],dp[j]+1)來保證存儲的為最長長度，同時可以記錄max(dp[i])

2. 考慮完題目的長度優先后，我們考慮數量，也就是說最長長度的序列有幾個，這個問題需要我們在處理dp的時候來記錄，我們設ans[i]為以第i個數結尾的最長序列的個數，與dp同理，ans初值也都是1

 3. 狀態轉移的時候，如果dp更新了，也就是說（dp[j]+1>dp[i]）說明這個長度的序列是新出現的，我們需要將ans[i]設置為ans[j]，因為新序列中，最新的數提供了序列的尾巴，數量是由前面積累的（或者說轉移）；舉例序列[1 1 3 7]我們易得數字3對應的dp=2,ans=2,因為可以構成兩個[1 3]那么我們操作到數字7的時候，發現接在3后面最長，就可以轉移ans來作為初始數量

 4. 而當dp[j]+1==dp[i]的時候，如同樣例，操作7的時候，我們最先發現了可以接在5后面，最長序列[1 3 5 7],然后發現可以接在4后面，[1 3 4 7]，長度也是4，這時候就同樣需要轉移ans，加上去 ans[i]+=ans[j]

 5. 最后我們需要遍歷dp，找到dp[i]=我們記錄的最大值的時候，累加我們得到的ans[i]，即為所求結果，時間復雜度是O(n^2)

Solution 

class Solution {
public:
    int findNumberOfLIS(vector<int>& nums) {
        int n = nums.size(), max_len = 1, res = 0;
        vector<int> dp(n, 1), cnt(n, 1);
        for(int i = 1; i < n; ++i){
            for(int j = 0; j < i; ++j){
                if(nums[j] < nums[i] && dp[j] + 1 > dp[i]){
                    dp[i] = dp[j] + 1;
                    cnt[i] = cnt[j];
                } else if(nums[j] < nums[i] && dp[j] + 1 == dp[i]){
                    cnt[i] += cnt[j];
                }
            }
            max_len = max(max_len, dp[i]);
        }
        for(int i = 0; i < n; ++i)
            if(dp[i] == max_len) res += cnt[i];
        return res;
    }
};