Java-求根號n

平方，開根號在java中是很簡單的，Math.sqrt(double n)或者 Math.pow(double a, double b)，求a的b次方。但是我們可以自己想想，這些方法到底是怎么實現的。

就拿開根號來解釋，它有兩種方法，二分法和牛頓迭代法。

二分法：

比如求根號5

第一步:折半：       5/2=2.5

第二步:平方校驗:  2.5*2.5=6.25>5，並且得到當前上限2.5，記錄。

第三步:再次向下折半:2.5/2=1.25

第四步:平方校驗：1.25*1.25=1.5625<5,得到當前下限1.25，記錄

第五步:再次折半:2.5-(2.5-1.25)/2=1.875

第六步:平方校驗：1.875*1.875=3.515625<5,得到當前下限1.875，替換下限值

......

一直到與5的差值在你定義的誤差范圍內才結束循環

代碼：

import java.text.DecimalFormat;

public class Main {
      
    public static double sqrt(double num){
        if(num<0) {
            return -1;
        }
        
        double low = 0;
        double high = num/2;
        double precision = 0.000001;
        //格式化，保證輸出位數
        DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.00");
        
        double res = high;
        while(Math.abs(num-(res*res))>precision) {
            if(high*high > num) {
                double n= high - (high-low)/2;
                if(n*n>num) {
                    high = n;
                } else if(n*n<num){
                    low = n;
                }else {
                    return Double.valueOf(df.format(n));
                }
                res = n;
                
            } else if(high*high < num){
                double m = high + (high-low)/2;
                if(m*m>num) {
                    low = high;
                    high = m;
                } else if(m*m<num){
                    low = high;
                    high = m;
                }else {
                    return Double.valueOf(df.format(m));
                }
                res = m;
            } else {
                return Double.valueOf(df.format(high));
            }
        }
        
        return Double.valueOf(df.format(res));
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double a = 7;
        System.out.println(sqrt(37));
    }
}

 

牛頓迭代法：

其實就是逼近的思想，例如我們要求a的平方根，首先令f(x)=x^2-a，那么我們的目的就是求得x使得f(x)=0，也就是求x^2-a這條曲線與x軸的交點，畫圖舉例：

 

 

 

由函數f(x)=x^2-a，我們求導可以知道，函數上任意一點(x,y)的切線的斜率為2x。假設過點（x0,y0）的切線方程為y=kx+b，那么切線與x軸的交點橫坐標為-b/k。而b=y0-kx0,k=2x0,y0=x0^2-a,化簡-b/k=（x0+a/x0）/2。

也就是說（x0+a/x0）/2是過點（x0,y0）的切線與x軸的交點的橫坐標。記（x0+a/x0）/2=x',繼續求過點（x',f(x')）的切線與x軸的交點的橫坐標x''，很明顯x''比x'更靠近函數f(x)=x^2-a與x軸的交點的橫坐標(即a的正平方根)。逐漸的逼近f(x)=0;

所以公式為：x' = （x'+a/x'）/2。

代碼：

import java.text.DecimalFormat;

public class Main1 {
    public static double sqrt(double x) {  
        if(x<0) {
            return -1;
        }
        //格式化，保證輸出位數
        DecimalFormat df = new DecimalFormat("#.00");
        
        double k = x; 
        double precision = 0.000001;
        while((k*k-x)>precision) {
            k=0.5*(k+x/k);  
        }
        return Double.valueOf(df.format(k));
    }
    
    public static void main(String[] args) {
        double a = 9;
        System.out.println(sqrt(a));
    }
}

 

參考文獻：

二分法和牛頓迭代法求平方根(Python實現)

牛頓迭代法求平方根