熄燈問題

題目鏈接：

NOI題庫  http://noi.openjudge.cn/ch0201/1813/

poj 1222   http://poj.org/problem?id=1222

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描述

有一個由按鈕組成的矩陣，其中每行有6個按鈕，共5行。每個按鈕的位置上有一盞燈。當按下一個按鈕后，該按鈕以及周圍位置(上邊、下邊、左邊、右邊)的燈都會改變一次。即，如果燈原來是點亮的，就會被熄滅；如果燈原來是熄滅的，則會被點亮。在矩陣角上的按鈕改變3盞燈的狀態；在矩陣邊上的按鈕改變4盞燈的狀態；其他的按鈕改變5盞燈的狀態。

在上圖中，左邊矩陣中用X標記的按鈕表示被按下，右邊的矩陣表示燈狀態的改變。對矩陣中的每盞燈設置一個初始狀態。請你按按鈕，直至每一盞等都熄滅。與一盞燈毗鄰的多個按鈕被按下時，一個操作會抵消另一次操作的結果。在下圖中，第2行第3、5列的按鈕都被按下，因此第2行、第4列的燈的狀態就不改變。

請你寫一個程序，確定需要按下哪些按鈕，恰好使得所有的燈都熄滅。根據上面的規則，我們知道1）第2次按下同一個按鈕時，將抵消第1次按下時所產生的結果。因此，每個按鈕最多只需要按下一次；2）各個按鈕被按下的順序對最終的結果沒有影響；3）對第1行中每盞點亮的燈，按下第2行對應的按鈕，就可以熄滅第1行的全部燈。如此重復下去，可以熄滅第1、2、3、4行的全部燈。同樣，按下第1、2、3、4、5列的按鈕，可以熄滅前5列的燈。

輸入

5行組成，每一行包括6個數字（0或1）。相鄰兩個數字之間用單個空格隔開。0表示燈的初始狀態是熄滅的，1表示燈的初始狀態是點亮的。

輸出

5行組成，每一行包括6個數字（0或1）。相鄰兩個數字之間用單個空格隔開。其中的1表示需要把對應的按鈕按下，0則表示不需要按對應的按鈕。

樣例輸入

0 1 1 0 1 0
1 0 0 1 1 1
0 0 1 0 0 1
1 0 0 1 0 1
0 1 1 1 0 0

樣例輸出

1 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 1
0 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 0 0 0 0

解題分析

來源：北大郭煒老師

• 第2次按下同一個按鈕時,將抵消第1次按下時所產生的結果，所以每個按鈕最多只需要按下一次
• 各個按鈕被按下的順序對最終的結果沒有影響
• 對第1行中每盞點亮的燈, 按下第2行對應的按鈕, 就可以熄滅第1行的全部燈
• 如此重復下去, 可以熄滅第1, 2, 3, 4行的全部燈

第一想法:

枚舉所有可能的按鈕(開關)狀態, 對每個狀態，計算一下最后燈的情況, 看是否都熄滅。
每個按鈕有兩種狀態(按下或不按下)，一共有30個開關, 那么狀態數是230, 太多, 會超時 。

如何減少枚舉的狀態數目呢?
基本思路: 如果存在某個局部, 一旦這個局部的狀態被確定, 那么剩余其他部分的狀態只能是確定的一種, 或者不多的n種, 那么就只需枚舉這個局部的狀態即可。 

本題是否存在這樣的 “ 局部” 呢?
經過觀察, 發現第1行就是這樣的一個 “ 局部”

因為第1行的各開關操作方案確定的情況下, 這些開關操作過后,將導致第1行某些燈是亮的, 某些燈是滅的。
要熄滅第1行某個亮着的燈(假設位於第i列), 那么唯一的辦法就是按下第2行第i列的開關。(因為第1行的開關已經用過了, 而第3行及其后的開關不會影響到第1行)
為了使第1行的燈全部熄滅, 第2行的合理開關操作方案就是唯一的 。

第2行的開關操作過后,為了熄滅第2行的燈, 第3行的合理開關操作方案就也是唯一的。以此類推, 最后一行的開關操作方案也是唯一的。
只要第1行的操作方案定下來, 記作A, 那么剩余行的操作方案就是確定唯一的了 。

推算出最后一行的開關操作方案, 然后看看最后一行的開關操作過后,最后一行的所有燈是否都熄滅：
如果是, 那么A就是一個解的狀態； 如果不是, 那么A不是解的狀態, 第1行換個狀態重新試試。

只需枚舉第1行的操作方案, 狀態數是2^6 = 64

有沒有狀態數更少的做法？
枚舉第一列, 狀態數是2^5 = 32

代碼來源：北大郭煒老師，這里僅做了一些注釋的補充和修改。

#include<memory>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
using namespace std;
int GetBit(char c,int i)//取c的第i位
{  return ( c >> i ) & 1;  }
void SetBit(char & c,int i, int v)//設置c的第i位設為v 
{
    if( v )  c |= ( 1 << i);
    else   c &= ~( 1 << i);
}
void Flip(char & c, int i)//將c的第i位取反 
{  c ^= ( 1 << i);  }
void OutputResult(int t,char result[]) //輸出結果
{
    //cout << "PUZZLE #" << t << endl;
    for( int i = 0;i < 5; ++i )
    {
        for( int j = 0; j < 6; ++j )
        {
            cout << GetBit(result[i],j);
            if( j < 5 ) cout << " ";
        }
        cout << endl;
    }
}
int main()
{
    char oriLights[5]; //最初燈矩陣，一個比特表示一盞燈
    char lights[5]; //不停變化的燈矩陣
    char result[5]; //結果開關矩陣
    char switchs; //某一行的開關狀態
    int T;
    //cin >> T;//POJ原題需要輸入T表示有T組測試數據
    T=1;
    for( int t = 1; t <= T; ++ t)
    {
        memset(oriLights,0,sizeof(oriLights));
        for( int i = 0;i < 5; i ++ )//讀入最初燈狀態
        { 
            for( int j = 0; j < 6; j ++ )
            {
                int s;
                cin >> s;
                SetBit(oriLights[i],j,s);
            }
        }
        
        for( int n = 0; n < 64; ++n )//遍歷首行開關的64種操作
        { 
            memcpy(lights,oriLights,sizeof(oriLights));
            switchs = n; //先假定第0行的開關需要的操作方案
            for( int i = 0;i < 5; ++i )
            {
                result[i] = switchs; //保存第i行開關的操作方案
                
                for( int j = 0; j < 6; ++j )//根據方案修改第i行的燈
                {
                    if( GetBit(switchs,j))
                    {   //switchs的第j個位等於1表示需要按下第i行第j個按鈕，等於0表示不需要按下該按鈕
                        if( j > 0) Flip(lights[i],j-1);//改左燈
                        Flip(lights[i],j);//改開關位置的燈
                        if( j < 5 ) Flip(lights[i],j+1);//改右燈
                    }
                }
                if( i < 4 ) lights[i+1] ^= switchs;//改下一行的燈
                
                switchs = lights[i]; //第i+1行開關的操作方案由第i行燈的狀態決定
            }
            if( lights[4] == 0 )
            {
                OutputResult(t,result);
                break;
            }
        } // for( int n = 0; n < 64; n ++ )
    }
    return 0;
}

 

不用位運算的操作：

#include <stdio.h>
int a[5][6],b[5][6],c[5][6];
void fun(int n)
{
    int i;
    for(i=0;i<6;i++)
    {
        c[0][i]=n%2;
        n=n/2;
    }
}
void set(int i,int j)
{
    b[i][j]=b[i][j]^1;//取反
    if(i-1>=0) b[i-1][j]= b[i-1][j]^1;
    if(i+1<5)  b[i+1][j]= b[i+1][j]^1;
    if(j-1>=0) b[i][j-1]=b[i][j-1]^1;
    if(j+1<6)  b[i][j+1]=b[i][j+1]^1;
}
int main(int argc, char *argv[])
{
    int i,j,k,n;
    freopen("data.in","r",stdin);
    for(i=0;i<5;i++)
        for(j=0;j<6;j++)
            scanf("%d",&a[i][j]);
            
    for(n=0;n<64;n++)
    {
        //把燈的初始狀態放到b[][] 
        for(i=0;i<5;i++)
            for(j=0;j<6;j++)
                { b[i][j]=a[i][j]; c[i][j]=0; }
        
        fun(n);//生成第0行的第n種方案的操作 
        //對第0行進行操作 
        for(j=0;j<6;j++)
        {
            if(c[0][j]==1) set(0,j);
        }
        //操作第1~4行 
        for(i=1;i<5;i++)
        {
            for(j=0;j<6;j++)
                if(b[i-1][j]==1) { set(i,j); c[i][j]=1; } 
        }
        //檢驗第4行是否已經完全關閉
        for(j=0;j<6;j++)
        {
            if(b[4][j]==1) break;
        }
        if(j>=6) break;
    }
    
    //輸出結果 
    for(i=0;i<5;i++)
    {
        for(j=0;j<6;j++)
        {
            printf("%d ",c[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    return 0;
}

 

有另一道題與本問題很相似：畫家問題， 該題題解：http://www.cnblogs.com/huashanqingzhu/p/7285999.html

解題思路一模一樣，也是利用了熄燈問題中第一行的選擇決定下一行的選擇。所以只需要枚舉出第一行所有的可能，以及驗證最后一行是否正確即可。