關於幾個背包問題(C語言)

個人新學的幾個背包問題，做下記錄總結。（參考博客：http://blog.csdn.net/mu399/article/details/7722810  以及 http://blog.csdn.net/u013174702/article/details/45741395）

（1）01背包：

01背包的狀態轉換方程 f[i,j] = Max{ f[i-1,j-Wi]+Pi,  f[i-1,j] }

f[i,j]表示在前i件物品中選擇若干件放在承重為 j 的背包中，可以取得的最大價值。

Pi表示第i件物品的價值 。該方程說白了就是比較放第i個和不放第i個物品兩種決策，哪種決策價值大就選擇哪種 。

我們舉個例子來理解下：

假設f[i-1,j]表示我有一個承重為8的背包，當只有物品b,c,d,e四件可選時，這個背包能裝入的最大價值9,現在有個重量Wi為2 價值為Pi為6
的物品a，考慮是否放入承重為8的背包使其價值最大，f[i-1,j-Wi]代表一個承重為6的背包的最大價值（等於當前背包承重8減去物品a的重量2），
當只有物品b,c,d,e四件可選時,這個背包能裝入的最大價值為8
由於f[i-1][v-Wi]+w[i]= 9 + 6 = 15 大於f[i][v] = 8，所以物品a應該放入承重為8的背包。

總的來說：

方程之中，現在需要放置的是第i件物品，這件物品的重量是Wi,價值是Pi,因此f[i-1,j]代表的就是不將這件物品放入背包，而f[i-1],j-Wi]]+Pi則是代表將第i件放入背包之后的總價值，比較兩者的價值，得出最大的價值存入現在的背包之中。

附上南陽oj上的一個題(49題)：

 

開心的小明

 

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難度： 4

 

描述

小明今天很開心，家里購置的新房就要領鑰匙了，新房里有一間他自己專用的很寬敞的房間。更讓他高興的是，媽媽昨天對他說：“你的房間需要購買哪些物品，怎么布置，你說了算，只要不超過N 元錢就行”。今天一早小明就開始做預算，但是他想買的東西太多了，肯定會超過媽媽限定的N 元。於是，他把每件物品規定了一個重要度，分為5 等：用整數1~5 表示，第5 等最重要。他還從因特網上查到了每件物品的價格（都是整數元）。他希望在不超過N 元（可以等於N 元）的前提下，使每件物品的價格與重要度的乘積的總和最大。設第j 件物品的價格為v[j]，重要度為w[j]，共選中了k 件物品，編號依次為j1...jk，則所求的總和為：v[j1]*w[j1]+..+v[jk]*w[jk]請你幫助金明設計一個滿足要求的購物單.

 

輸入

第一行輸入一個整數N(0<N<=101)表示測試數據組數
每組測試數據輸入的第1 行，為兩個正整數，用一個空格隔開：
N m
（其中N（<30000）表示總錢數，m(<25)為希望購買物品的個數。）
從第2 行到第m+1 行，第j 行給出了編號為j-1
的物品的基本數據，每行有2 個非負整數
v p
（其中v 表示該物品的價格（v≤10000），p 表示該物品的重要度（1~5））

輸出

每組測試數據輸出只有一個正整數，為不超過總錢數的物品的價格與重要度乘積的總和的
最大值（<100000000）

樣例輸入

1
1000 5
800 2
400 5
300 5
400 3
200 2

樣例輸出

3900
解決代碼：
//01背包問題,開心的小明 
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>  
using namespace std; 
int dp[30001];//dp[i]表示質量為i時的最大價值
struct bag{
 int v;
 int p; 
}a[26];
int main(){
int n;
scanf("%d",&n);
  while(n--){
  int N,m,i,j;
  scanf("%d%d",&N,&m); 
  for(i=1;i<=m;i++)
  scanf("%d%d",&a[i].v,&a[i].p);
memset(dp,0,sizeof(dp));
  for(i=1;i<=m;i++){
    for(j=N;j>=a[i].v;j--){
    dp[j]=max(dp[j-a[i].v]+a[i].v*a[i].p,dp[j]);    
    }//確定要不要買價格為j的第i件物品，總是使dp的值最大 
   } 
 printf("%d\n",dp[N]); 
  }    
}
（2）又見01背包：

又見01背包（通過南陽Oj一個例題來體現）

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難度：3

描述

    有n個重量和價值分別為wi 和 vi 的 物品，從這些物品中選擇總重量不超過 W 

的物品，求所有挑選方案中物品價值總和的最大值。

　　1 <= n <=100

　　1 <= wi <= 10^7

　　1 <= vi <= 100

　　1 <= W <= 10^9

輸入

多組測試數據。
每組測試數據第一行輸入，n 和 W ，接下來有n行，每行輸入兩個數，代表第i個物品的wi 和 vi。

輸出

滿足題意的最大價值，每組測試數據占一行。

樣例輸入

4 5
2 3
1 2
3 4
2 2

樣例輸出

7
這題起初看以為就是普通的背包問題，仔細一看如果用dp[W]來表示質量為wi時的最大價值，因為W的范圍太大開不了那么大的數組，
所以解決方法就是把價值和重量翻轉，改用較小的價值來開數組，那么最后求的就是指定價值下的最小重量。
附上代碼：
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
struct bag{
  int w;
  int v;    
}a[101];
int dp[100000];
int main(){
int n,W; 
while(scanf("%d%d",&n,&W)!=EOF){
int i,j,sum=0;

 for(i=0;i<n;i++){
 scanf("%d%d",&a[i].w,&a[i].v);    
 sum+=a[i].v;
 }
 for(i=0;i<=sum;i++)
 dp[i]=1e9;
 dp[0]=0;
 for(i=0;i<n;i++){
   for(j=sum;j>=a[i].v;j--){
       dp[j]=min(dp[j-a[i].v]+a[i].w,dp[j]);//dp[]代表指定價值下的最小重量，j為指定價值   
   }    
 }
 for(i=sum;i>=0;i--){//按順序從大到小輸出dp的值，即重量對應的價值 
 if(dp[i]<=W){
 printf("%d\n",i);
 break;
 }
}
}
} 
(3)完全背包：

完全背包（南陽oj311題）

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難度： 4

描述

直接說題意，完全背包定義有N種物品和一個容量為V的背包，每種物品都有無限件可用。第i種物品的體積是c，價值是w。求解將哪些物品裝入背包可使這些物品的體積總和不超過背包容量，且價值總和最大。本題要求是背包恰好裝滿背包時，求出最大價值總和是多少。如果不能恰好裝滿背包，輸出NO

輸入

第一行： N 表示有多少組測試數據（N<7）。
接下來每組測試數據的第一行有兩個整數M，V。 M表示物品種類的數目，V表示背包的總容量。(0<M<=2000，0<V<=50000)
接下來的M行每行有兩個整數c，w分別表示每種物品的重量和價值(0<c<100000，0<w<100000)

輸出

對應每組測試數據輸出結果（如果能恰好裝滿背包，輸出裝滿背包時背包內物品的最大價值總和。 如果不能恰好裝滿背包，輸出NO）

樣例輸入

2
1 5
2 2
2 5
2 2
5 1

代碼：
#include<stdio.h>
#include<algorithm>
using namespace std;
int dp[50005],c[2001],w[2001];    
int main(){
int N,M,V,i,j;
scanf("%d",&N);
while(N--){ 
scanf("%d%d",&M,&V);
for(i=1;i<=V;i++)
dp[i]=-1000000;
dp[0]=0;
for(i=0;i<M;i++)
scanf("%d%d",&c[i],&w[i]);
  for(i=0;i<M;i++){
      for(j=c[i];j<=V;j++){
      dp[j]=max(dp[j-c[i]]+w[i],dp[j]);
      }    
  } 
 if(dp[V]<0)
 printf("NO\n");
 else
 printf("%d\n",dp[V]); 
}    
}

解題思路：

0-1背包的狀態轉移方程是

for i = 1 to N for v = V to Ci F [v] = max{F [v],F [v − Ci] + Wi}
完全背包就是不限制物品使用個數，可以無限使用，也就是可以重復放置一個物體

轉移方程

for i = 1 to N for v = Ci to V F [v] = max(F [v], F [v − Ci] + Wi)
你會發現，這個偽代碼與01背包問題的偽代碼只有v的循環次序不同而已。 為什么這個算法就可行呢？首先想想為什么01背包中要按照v遞減的次序來 循環。讓v遞減是為了保證第i次循環中的狀態F [i, v]是由狀態F [i − 1, v − Ci]遞 推而來。換句話說，這正是為了保證每件物品只選一次，因為質量在減少不可能再能加入一個和原來質量一樣大的物品，
而現在完全背包的特點恰是每種物品可選無限件，所以采用“質量增加”的循環，因此后面可能會繼續加入和原來質量一樣的物品。。