華為OJ-素數伴侶-二分圖的最大匹配-匈牙利算法

題目描述

若兩個正整數的和為素數，則這兩個正整數稱之為“素數伴侶”，如2和5、6和13，它們能應用於通信加密。現在密碼學會請你設計一個程序，從已有的N（N為偶數）個正整數中挑選出若干對組成“素數伴侶”，挑選方案多種多樣，例如有4個正整數：2，5，6，13，如果將5和6分為一組中只能得到一組“素數伴侶”，而將2和5、6和13編組將得到兩組“素數伴侶”，能組成“素數伴侶”最多的方案稱為“最佳方案”，當然密碼學會希望你尋找出“最佳方案”。

輸入:

有一個正偶數N（N≤100），表示待挑選的自然數的個數。后面給出具體的數字，范圍為[2,30000]。

輸入描述:

輸入說明
1 輸入一個正偶數n
2 輸入n個整數

輸出:

輸出一個整數K，表示你求得的“最佳方案”組成“素數伴侶”的對數。

輸出描述:

求得的“最佳方案”組成“素數伴侶”的對數。

示例1

輸入

4
2 5 6 13

輸出

2

求解思路

• 考慮素數伴侶的可能情況。若為兩個偶數或奇數，兩者和必然為偶數，不可能為素數，故唯一的組合是一個偶數和一個奇數的情況。
• 根據數字的類型，可以將其分為奇數和偶數兩個集合，一個素數伴侶可以看做： 從奇數和偶數集合中各取出一個，連上一條邊。從而該問題轉化為二分圖的最大匹配問題。

編程關鍵點

• 素性測試：判斷一個數是否為素數

  • 采用素數篩法。建立數組primes，首先將除2外的偶數標記為false，之后對奇數進行判斷， 判斷終止條件為\(\sqrt N\)；為了避免重復判斷，已知\(p\)為素數，下次的判斷從\(p^2\)開始，將所有\(p\)的倍數置為false，由於\(p^2\)為奇數，奇數與偶數相乘為偶數， 為避免對偶數的重復判斷，\(p\)的倍數取值為：\(p^2 + 2ip,i=1,2,3...\)；
  • 素數篩法求素數這篇文章對該方法進行了詳細的介紹，值得一讀；
  • 代碼如下：

    vector<int> primes(60001, 1);
    
    // generate prime numbers
    void prime_library() {
        primes[0] = primes[1] = 0;
        for (int i = 4; i < primes.size(); i += 2) {
            primes[i] = 0;
        }
        for (int i = 3; i * i < primes.size(); i += 2) {
            if (primes[i]) {
                for (int j = i * i; j < primes.size(); j += 2 * i)
                    primes[j] = 0;
            }
        }
    }
    

• 二分圖的最大匹配問題：匈牙利算法

  • 算法的詳細介紹可參考這篇文章二分圖的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法, 我自己的理解是：
    • 數據被分為兩個集合：偶數和奇數。最開始所有的點都為未匹配點;
    • 從未匹配點出發，采用深度優先搜索，判斷是否能找到一個與之匹配的點；
    • 在DFS中，如果遇到了已經匹配的點，那么要從該匹配點向下繼續尋找，直到所有的點都匹配過。
  • 程序完整代碼如下：

    bool dfs(vector<int>& match, vector<int> & check, vector<int> &array, const unsigned x) {
        for (int i = 0; i < array.size(); ++i) {
            if (array[i] % 2 == 1 && primes[array[i] + array[x]] == 1 && check[i] == 0){
                check[i] = 1;
                if(match[i] == -1 || dfs(match, check, array, match[i])){
                    match[i] = x;
                    match[x] = i;
                    return true;
                }
            }
        }
        return false;
    }
    
    int main() {
        int N;
        prime_library();
        while (cin >> N) {
            vector<int> array(N, 0);
            for (int i = 0; i < N; ++i) {
                cin >> array[i];
            }
            int count{0};
            vector<int> match(N,-1);
            for (int i = 0; i < array.size(); ++i) {
                //二分圖左側
                if(array[i]%2 == 0){
                    vector<int> check(N,0);
                    check[i] = 1;
                    if(dfs(match, check, array, i))
                        ++count;
                }
            }
            cout << count<<endl;
        }
        return 0;
    }
    

  • 備注：
  1. match被初始化為-1，它儲存的是素數伴侶的配對情況，如match[u] = v表示u和v為一堆素數伴侶；
  2. check的初始化放在了內層循環，意味着每從偶數集合內取一個點，就要與奇數集合內所有的點做素數伴侶判斷，此時match數組是保留了之前的記錄信息的。