CSU 1963 Feed the rabbit（斜率優化dp）

http://acm.csu.edu.cn/csuoj/problemset/problem?pid=1963

題意：
有m個坑，每只兔子會在ti時刻回到坑中，現在有n個人，每個人都可以從任意時間（<0也可以）從第一個坑出發，速度為1，如果路過的坑中有兔子，就給它喂食物，每只兔子喂一次即可，計算所有兔子等待時間的最短之和。

 

思路：
對於第i只兔子，如果有個人在y時間正好經過喂了它，那么那個人出發的時間為y-x。現在現計算出每只兔子的y-x值，記為t【】，並排好序。sum【】表示前i只兔子的y-x值。

接下來就是動態轉移了，d【i】【j】表示第i個人正好經過第j只兔子時的最小等待時間。

那么狀態轉移方程就是

d[i][j]=min(d[i][j],d[i-1][k]+(j-k)*t[j]-(sum[j]-sum[k]))

解釋一下這個方程的意思：d【i-1】【k】表示上一個人正好經過第k只兔子時的最小等待時間，那么j~k之間的兔子肯定是要輪到第i個人來喂了，因為第i個人的出發時間更晚一些，所以j~k這些兔子肯定是要等待的，等待的時間就是，也就是上式的(j-k)*t[j]-(sum[j]-sum[k])。

 

理解了這個之后，接下來就是斜率優化dp的應用了，這樣的狀態轉移方程也容易讓人想到斜率優化dp。

設z<k<j，如果k的決策比z的決策更好，那么在上述的狀態轉移方程中滿足

d[i-1][k]+(j-k)*t[j]-(sum[j]-sum[k]) < d[i-1][z]+(j-z)*t[j]-(sum[j]-sum[z])

整理得到，那這就是明顯的斜率優化dp了。

 

所謂的斜率優化dp，就是每新插入一個點的時候，需要維護一條下凸的形狀，對於會形成上凸的點，我們可以直接刪去，因為它肯定不會是最優解。

那么如何維護呢？使用單調隊列。

每次依次先檢查隊首的兩個元素，如果滿足上式，那么說明隊首的第二個值更優，可以刪除第一個值，直到第一個值比第二個元素更優。

然后是隊尾的檢查，如果新插入的點使得隊尾的點成為了上凸點，那么就需要刪去這個上凸點，直到沒有上凸點產生。

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#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<sstream>
#include<vector>
#include<stack>
#include<queue>
#include<cmath>
#include<map>
#include<set>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int,int> pll;
const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 1e5+ 5;

int n, m, p;
ll t[maxn];
ll Q[maxn];
ll sum[maxn];
ll dis[maxn];
ll d[105][maxn];

ll dy(int i, int j, int k)
{
    return (d[i-1][j]+sum[j])-(d[i-1][k]+sum[k]);
}

ll dx(int j, int k)
{
    return j-k;
}

int main()
{
    //freopen("in.txt","r",stdin);
    while(~scanf("%d%d%d",&n, &m, &p))
    {
        dis[1]=0;
        for(int i=2;i<=n;i++)
        {
            scanf("%I64d",&dis[i]);
            dis[i]+=dis[i-1];
        }

        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            t[i]=y-dis[x];
        }

        sort(t+1,t+m+1);
        sum[0]=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
            sum[i]=sum[i-1]+t[i];

        for(int i=1;i<m;i++)
            d[1][i]=t[i]*i-sum[i];


        for(int i=2;i<=p;i++)
        {
            int frt=0, rear=-1;
            for(int j=1;j<=m;j++)
            {
                while(frt<rear && dy(i,Q[frt+1],Q[frt])<t[j]*dx(Q[frt+1],Q[frt]))  frt++;
                while(frt<rear && (dy(i,Q[rear],Q[rear-1])*dx(j,Q[rear]))>=(dy(i,j,Q[rear])*dx(Q[rear],Q[rear-1])))
                    rear--;
                Q[++rear]=j;

                int tmp=Q[frt];
                d[i][j]=d[i-1][tmp]-(tmp-j)*t[j]-(sum[j]-sum[tmp]);
            }
        }
        cout<<d[p][m]<<endl;
    }
    return 0;
}