斜率優化DP

我們知道，有些DP方程可以轉化成DP[i]=f[j]+x[i]的形式，其中f[j]中保存了只與j相關的量。這樣的DP方程我們可以用單調隊列進行優化，從而使得O(n^2)的復雜度降到O(n)。

 

可是並不是所有的方程都可以轉化成上面的形式，舉個例子：dp[i]=dp[j]+(x[i]-x[j])*(x[i]-x[j])。如果把右邊的乘法化開的話，會得到x[i]*x[j]的項。這就沒辦法使得f[j]里只存在於j相關的量了。於是上面的單調隊列優化方法就不好使了。

 

這里學習一種新的優化方法，叫做斜率優化，其實和凸包差不多，下面會解釋。

 

舉例子說明是最好的！HDU 3507，很適合的一個入門題。http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3507

大概題意就是要輸出N個數字a[N]，輸出的時候可以連續連續的輸出，每連續輸出一串，它的費用是 “這串數字和的平方加上一個常數M”。

我們設dp[i]表示輸出到i的時候最少的花費，sum[i]表示從a[1]到a[i]的數字和。於是方程就是：

dp[i]=dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2；

很顯然這個是一個二維的。題目的數字有500000個，不用試了，二維鐵定超時了。那我們就來試試斜率優化吧，看看是如何做到從O(n^2)復雜度降到O(n)的。

 

分析:

我們假設k<j<i。如果在j的時候決策要比在k的時候決策好，那么也是就是dp[j]+M+(sum[i]-sum[j])^2<dp[k]+M+(sum[i]-sum[k])^2。(因為是最小花費嘛，所以優就是小於)

兩邊移項一下，得到：(dp[j]+num[j]^2-(dp[k]+num[k]^2))/(2*(num[j]-num[k]))<sum[i]。我們把dp[j]-num[j]^2看做是yj，把2*num[j]看成是xj。

那么不就是yj-yk/xj-xk<sum[i]么？   左邊是不是斜率的表示？ 

那么yj-yk/xj-xk<sum[i]說明了什么呢？  我們前面是不是假設j的決策比k的決策要好才得到這個表示的？ 如果是的話，那么就說明g[j,k]=yj-jk/xj-xk<sum[i]代表這j的決策比k的決策要更優。

 

關鍵的來了：現在從左到右，還是設k<j<i，如果g[i,j]<g[j,k]，那么j點便永遠不可能成為最優解，可以直接將它踢出我們的最優解集。為什么呢？

我們假設g[i,j]<sum[i]，那么就是說i點要比j點優，排除j點。

如果g[i,j]>=sum[i]，那么j點此時是比i點要更優，但是同時g[j,k]>g[i,j]>sum[i]。這說明還有k點會比j點更優，同樣排除j點。

排除多余的點，這便是一種優化！

 

接下來看看如何找最優解。

設k<j<i。

由於我們排除了g[i,j]<g[j,k]的情況，所以整個有效點集呈現一種上凸性質，即k j的斜率要大於j i的斜率。

這樣，從左到右，斜率之間就是單調遞減的了。當我們的最優解取得在j點的時候，那么k點不可能再取得比j點更優的解了，於是k點也可以排除。換句話說，j點之前的點全部不可能再比j點更優了，可以全部從解集中排除。

 

於是對於這題我們對於斜率優化做法可以總結如下：

1，用一個單調隊列來維護解集。

2，假設隊列中從頭到尾已經有元素a b c。那么當d要入隊的時候，我們維護隊列的上凸性質，即如果g[d,c]<g[c,b]，那么就將c點刪除。直到找到g[d,x]>=g[x,y]為止，並將d點加入在該位置中。

3，求解時候，從隊頭開始，如果已有元素a b c，當i點要求解時，如果g[b,a]<sum[i]，那么說明b點比a點更優，a點可以排除，於是a出隊。最后dp[i]=getDp(q[head])。

#include<iostream>
#include<string>
using namespace std;

int dp[500005];
int q[500005];
int sum[500005];
int head,tail,n,m;

int getDP(int i,int j)
{
    return dp[j]+m+(sum[i]-sum[j])*(sum[i]-sum[j]);
}

int getUP(int j,int k)  //yj-yk的部分
{
    return dp[j]+sum[j]*sum[j]-(dp[k]+sum[k]*sum[k]);
}

int getDOWN(int j,int k) //xj-xk的部分
{
    return 2*(sum[j]-sum[k]);
}

int main()
{
    int i;
    freopen("D:\\in.txt","r",stdin);
    while(scanf("%d%d",&n,&m)==2)
    {
        for(i=1;i<=n;i++)
            scanf("%d",&sum[i]);
        sum[0]=dp[0]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
            sum[i]+=sum[i-1];
        head=tail=0;
        q[tail++]=0;
        for(i=1;i<=n;i++)
        {
            while(head+1<tail && getUP(q[head+1],q[head])<=sum[i]*getDOWN(q[head+1],q[head]))
                head++;
            dp[i]=getDP(i,q[head]);
            while(head+1<tail && getUP(i,q[tail-1])*getDOWN(q[tail-1],q[tail-2])<=getUP(q[tail-1],q[tail-2])*getDOWN(i,q[tail-1]))
                tail--;
            q[tail++]=i;
        }
        printf("%d\n",dp[n]);
    }
    return 0;
}