我來舉一個核函數把低維空間映射到高維空間的例子。
下面這張圖位於第一、二象限內。我們關注紅色的門，以及“北京四合院”這幾個字下面的紫色的字母。我們把紅色的門上的點看成是“+”數據，紫色字母上的點看成是“-”數據，它們的橫、縱坐標是兩個特征。顯然，在這個二維空間內，“+”“-”兩類數據不是線性可分的。
我們現在考慮核函數
，即“內積平方”。這里面
是二維空間中的兩個點。這個核函數對應着一個二維空間到三維空間的映射，它的表達式是：
可以驗證，
（前后軸為x軸，左右軸為y軸，上下軸為z軸）
注意到綠色的平面可以完美地分割紅色和紫色，也就是說，兩類數據在三維空間中變成線性可分的了。而三維中的這個判決邊界，再映射回二維空間中是這樣的：
這是一條雙曲線，它不是線性的。
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如上面的例子所說，核函數的作用就是隱含着一個從低維空間到高維空間的映射，而這個映射可以把低維空間中線性不可分的兩類點變成線性可分的。
當然，我舉的這個具體例子強烈地依賴於數據在原始空間中的位置。
事實中使用的核函數往往比這個例子復雜得多。它們對應的映射並不一定能夠顯式地表達出來；它們映射到的高維空間的維數也比我舉的例子（三維）高得多，甚至是無窮維的。這樣，就可以期待原來並不線性可分的兩類點變成線性可分的了。
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在機器學習中常用的核函數，一般有這么幾類，也就是LibSVM中自帶的這幾類：
1) 線性：
2) 多項式：
3) Radial basis function：
4) Sigmoid：
我舉的例子是多項式核函數中
的情況。
在實用中，很多使用者都是盲目地試驗各種核函數，並掃描其中的參數，選擇效果最好的。至於什么樣的核函數適用於什么樣的問題，大多數人都不懂。很不幸，我也屬於這大多數人，所以如果有人對這個問題有理論性的理解，還請指教。
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核函數要滿足的條件稱為 Mercer's condition。由於我以應用SVM為主，對它的理論並不很了解，就不闡述什么了。使用SVM的很多人甚至都不知道這個條件，也不關心它；有些不滿足該條件的函數也被拿來當核函數用。鏈接：https://www.zhihu.com/question/24627666/answer/28440943
來源：知乎