核函數

7 核函數（Kernels）

考慮我們最初在“線性回歸”中提出的問題，特征是房子的面積x，這里的x是實數，結果y是房子的價格。假設我們從樣本點的分布中看到x和y符合3次曲線，那么我們希望使用x的三次多項式來逼近這些樣本點。那么首先需要將特征x擴展到三維，然后尋找特征和結果之間的模型。我們將這種特征變換稱作特征映射（feature mapping）。映射函數稱作，在這個例子中

我們希望將得到的特征映射后的特征應用於SVM分類，而不是最初的特征。這樣，我們需要將前面公式中的內積從，映射到。

至於為什么需要映射后的特征而不是最初的特征來參與計算，上面提到的（為了更好地擬合）是其中一個原因，另外的一個重要原因是樣例可能存在線性不可 分的情況，而將特征映射到高維空間后，往往就可分了。（在《數據挖掘導論》Pang-Ning Tan等人著的《支持向量機》那一章有個很好的例子說明）

將核函數形式化定義，如果原始特征內積是，映射后為，那么定義核函數（Kernel）為

到這里，我們可以得出結論，如果要實現該節開頭的效果，只需先計算，然后計算即可，然而這種計算方式是非常低效的。比如最初的特征是n維的，我們將其映射到維，然后再計算，這樣需要的時間。那么我們能不能想辦法減少計算時間呢？

先看一個例子，假設x和z都是n維的，

展開后，得

這個時候發現我們可以只計算原始特征x和z內積的平方（時間復雜度是O(n)），就等價與計算映射后特征的內積。也就是說我們不需要花時間了。

現在看一下映射函數（n=3時），根據上面的公式，得到

也就是說核函數只能在選擇這樣的作為映射函數時才能夠等價於映射后特征的內積。

再看一個核函數

對應的映射函數（n=3時）是

更一般地，核函數對應的映射后特征維度為。（求解方法參見http://zhidao.baidu.com/question/16706714.html）。

由於計算的是內積，我們可以想到IR中的余弦相似度，如果x和z向量夾角越小，那么核函數值越大，反之，越小。因此，核函數值是和的相似度。

再看另外一個核函數

這時，如果x和z很相近（），那么核函數值為1，如果x和z相差很大（），那么核函數值約等於0。由於這個函數類似於高斯分布，因此稱為高斯核函數，也叫做徑向基函數(Radial Basis Function 簡稱RBF)。它能夠把原始特征映射到無窮維。

既然高斯核函數能夠比較x和z的相似度，並映射到0到1，回想logistic回歸，sigmoid函數可以，因此還有sigmoid核函數等等。

下面有張圖說明在低維線性不可分時，映射到高維后就可分了，使用高斯核函數。

來自Eric Xing的slides

注意，使用核函數后，怎么分類新來的樣本呢？線性的時候我們使用SVM學習出w和b，新來樣本x的話，我們使用來判斷，如果值大於等於1，那么是正類，小於等於是負類。在兩者之間，認為無法確定。如果使用了核函數后，就變成了，是否先要找到，然后再預測？答案肯定不是了，找很麻煩，回想我們之前說過的

只需將替換成，然后值的判斷同上。

8 核函數有效性判定

問題：給定一個函數K，我們能否使用K來替代計算，也就說，是否能夠找出一個，使得對於所有的x和z，都有？

比如給出了，是否能夠認為K是一個有效的核函數。

下面來解決這個問題，給定m個訓練樣本，每一個對應一個特征向量。那么，我們可以將任意兩個和帶入K中，計算得到。I可以從1到m，j可以從1到m，這樣可以計算出m*m的核函數矩陣（Kernel Matrix）。為了方便，我們將核函數矩陣和都使用K來表示。

如果假設K是有效地核函數，那么根據核函數定義

可見，矩陣K應該是個對稱陣。讓我們得出一個更強的結論，首先使用符號來表示映射函數的第k維屬性值。那么對於任意向量z，得

最后一步和前面計算時類似。從這個公式我們可以看出，如果K是個有效的核函數（即和等價），那么，在訓練集上得到的核函數矩陣K應該是半正定的（）

這樣我們得到一個核函數的必要條件：

K是有效的核函數 ==> 核函數矩陣K是對稱半正定的。

可幸的是，這個條件也是充分的，由Mercer定理來表達。

Mercer定理：

如果函數K是上的映射（也就是從兩個n維向量映射到實數域）。那么如果K是一個有效核函數（也稱為Mercer核函數），那么當且僅當對於訓練樣例，其相應的核函數矩陣是對稱半正定的。

Mercer定理表明為了證明K是有效的核函數，那么我們不用去尋找，而只需要在訓練集上求出各個，然后判斷矩陣K是否是半正定（使用左上角主子式大於等於零等方法）即可。

許多其他的教科書在Mercer定理證明過程中使用了范數和再生希爾伯特空間等概念，但在特征是n維的情況下，這里給出的證明是等價的。

核函數不僅僅用在SVM上，但凡在一個模型后算法中出現了，我們都可以常使用去替換，這可能能夠很好地改善我們的算法。